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Proporción 3: La octava musical

Todos tenemos experiencia de la octava musical y conocemos la existencia de siete pasos o notas desde un Do inicial y los seis pasos intermedios: Re o Segunda, Mi o Tercera, Fa o Cuarta, Sol o Quinta, La o Sexta y Si o Séptima, hasta llegar al siguiente Do u Octava. Y sabemos que podemos experimentar las cualidades intrínsecas de cada nota si escuchamos la octava completa, nota a nota, y en su orden ascendente o descendente.

Y si cantamos una octava completa partiendo de un sonido inicial o unísono, lo que en definitiva estamos haciendo es partir de un número de vibraciones dado e ir elevando este número de vibraciones hasta llegar a su duplicación. O con otras palabras, si hemos partido de 1/1 como Do inicial,la octava se completa en el siguiente Do como 2/1. Si hemos partido de 2/1, llegaremos a 4/1. En definitiva,una progresión geométrica en base 2.

Platón, en el Timeo, al describir la creación del Alma del Mundo 1 expone las cuatro primeras relaciones de números enteros: 1/1, 2/1, 4/3 y 3/2 que Pitágoras nombra como el Unísono, la Octava, la Cuarta y la Quinta. Pero la Cuarta 4/3 y la Quinta 3/2 son en realidad, la media armónica y la media aritmética que rellenan el intervalo entre 1 y 2.2.

Y tan importante debió ser para él, que además de exponerla en los diálogos Timeo y Fedro, en La República, utiliza su símil para hablar de las cualidades de la sociedad y del individuo, tanto para la pluralidad como la individualidad.3

Y en relación al individuo dice: “…tal hombre, ha de disponer bien lo que es suyo propio en sentido estricto y se autogobernará poniéndose en orden a sí mismo con amor y armonizando sus tres especies simplemente como los tres términos de la escala musical: el más bajo, el más alto y el del medio. Y si llega a haber otros términos intermedios, los unirá a todos y se generará así, a partir de la multiplicidad, la unidad absoluta, moderada y armónica”.

Y el mismo Le Corbusier, en el preámbulo de “El Modulor”4, utiliza el mismo símil de la octava como utensilio de trabajo para el pensamiento musical, a fin de explicar la necesidad de tener en arquitectura un instrumento similar.

Y sobre la octava escribe: “Pero un día – seis siglos antes de J.C. – alguien se preocupó de hacer transmisible para siempre estas músicas de otro modo que no fuera de boca a oreja, y por tanto, escribirla, para lo cual no existía método ni instrumento; y como se trataba de fijar el sonido en
puntos determinados, rompiendo así su perfecta continuidad, había que representarlo por medio de elementos captables y por consiguiente, recortar el “continuo” de acuerdo con un cierto convenio y hacer “graduaciones”, las cuales constituirían los peldaños de una escala (artificial) del sonido.¿Cómo seccionar la continuidad del fenómeno sonoro? ¿Cómo recortar este sonido según una regla admisible por todo el mundo y especialmente eficaz, es decir, susceptible de flexibilidad, de diversidad, de matices y de riquezas y sin embargo, sencilla, manejable y accesible? Pitágoras resolvió la cuestión tomando dos puntos de apoyo capaces de unir la seguridad y la diversidad: por una parte el oído humano- la audibilidad humana (y no la de los lobos, de los leones o de los perros) y por otra, los números, es decir, la Matemática (sus combinaciones), que es hija del Universo”

Pitágoras y Ptolomeo establecieron las bases de la música.

Pitágoras definió la octava como un proceso discontinuo de vibraciones desde un punto inicial a su duplicación y definió los siete pasos de la octava empleando los tres primeros números. Es importante insistir en esa característica esencial de la octava como proceso discontinuo, no repetitivo….

A través de la relación 3/2 ascendiendo desde la Primera o nota Do definió la Quinta (3/2), descendiendo desde la Octava, definió la Cuarta (4/3) y con la diferencia entre la Cuarta y la Quinta definió la Segunda (9/8). Las demás notas o relaciones de dos números enteros son potencias de esa relación 3/2.

Fig.1

Fig.2

El impresionante descubrimiento de Pitágoras fue que el tono musical dependía de la longitud de una cuerda que vibra. Esto es, las diferencias cualitativas del sonido se podían traducir en diferencias cuantitativas. Una cualidad podía representarse por una cantidad y dos verbos aparentemente opuestos como cualificar y cuantificar quedaron relacionados por el número. El Número vinculó Cualidad y Cantidad. O dicho de otra manera, la base profunda de la música era y es “número convertido en sonido” y en la arquitectura, el número se convierte en medida.

Ptolomeo matizó la octava al introducir el siguiente número primo 5, y así quedó establecida la gama musical de siete notas conocida como diatónica o natural. Ambas gamas representan el mismo proceso discontinuo de vibraciones donde las diferencias son un tema de matices. Las notas Primera,
Segunda, Cuarta, Quinta y Octava permanecen iguales y las variaciones en las notas Tercera, Sexta y Séptima corresponden todas a una “comma pitagórica” (81/80). Juan Borchers 5 explica que el oído humano no distingue entre dos sonidos próximos si el intervalo que los separa es menor de
81/80 y que llama el “comma” auditivo.

Fig.3

De estos cuatro tonos, tres son universales (Unísono, Octava y Quinta), y están reconocidos como los intervalos primarios musicales de todas las culturas conocidas6 . Los restantes peldaños o etapas pueden llegar a diferir considerablemente de unos sistemas musicales a otros, pero todas las gamas musicales de todos los pueblos de la tierra, tienen en común el uso de la octava como “estructura básica” que puede modularse o dividirse.

Esta gama diatónica también es conocida por la “Escala de Zarlino” o de justa entonación, en la que comenzando en la Cuarta o nota Fa y mediante saltos sucesivos de Tercera Mayor (5/4) y Tercera Menor (6/5), se obtienen los tres acordes básicos de la música: Subdominante (Fa–La–Do), Tónica (Do-Mi-Sol) y Dominante (Sol-Si-Re).

Fa(4/3) 7 – La(5/3) 8 – Do(1/1) 9 – Mi(5/4) 10 – Sol(3/2) 11 – Si(15/8) 12 – Re(9/8)

Al ordenarlas en la misma octava, resulta la gama diatónica o natural antes mencionada con los tres intervalos, mayor, menor y semitono diatónico que las distinguen:

Do – (9/8) – Re – (10/9) – Mi – (16/15) – Fa – (9/8) – Sol – (10/9) – La – (9/8) – Si – (16/15) – Do

En el siglo XX, A. Schönberg 13 define la armonía como la simultaneidad sonora y describe con palabras parecidas la serie de sonidos concomitantes llamados armónicos superiores. Explica que para un sonido fundamental Do 3, los armónicos son:

Do 4 – Sol 4 – Do 5 – Mi 5 – Sol 5 – Si b 5 – Do 6 – Re 6 – Mi 6 – Fa 6 – Sol 6 – …

Y que la suma de los armónicos superiores (eliminado los que se repiten) proporciona los siete sonidos de nuestra escala: Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si, Do, que corresponden a nuestra escala de Do Mayor.

Y así, Ptolomeo 14 distinguió entre:

– Las consonancias perfectas: Primera, Unísono o nota Do (1/1), Quinta o nota Sol (3/2) y Octava (2/1).
– Una consonancia semiperfecta: Cuarta o nota Fa (4/3).
– Cuatro consonancias imperfectas: Sexta Mayor o nota La (5/3), Tercera Menor (6/5), Tercera Mayor o nota Mi (5/4) y Sexta Menor (8/5). Siendo la Tercera y la Sexta menor, notas correspondientes a la gama cromática.
– Y por último, dos disonancias: La Segunda o nota Re (9/8) y la Séptima o nota Si (15/8).

Porque cada una de ellas respondía a un paso, a una cualidad, o a un sonido de un proceso cuya fuerza es ese conjunto de diferentes etapas que engloba la octava y que permite la riqueza y abundancia de la creación musical.

Actualmente, A. Schönberg explica y amplía estas distinciones 15. Dice que la primera consonancia más perfecta después de unísono es la octava, le sigue la Quinta y luego la Tercera Mayor. La Tercera menor y la Sexta Mayor y menor no las considera relaciones del sonido fundamental, y la Cuarta designada como consonancia imperfecta, la considera una relación de sonido fundamental pero en la dirección opuesta:”Pero la evolución de la música ha seguido otro camino y ha adjudicado a la Cuarta una posición especial”. y sigue diciendo: “La serie de armónicos superiores incluyen las disonancias.Entre éstas y las disonancias sólo hay diferencias graduales” y termina diciendo:“Puesto que debo operar con estos conceptos (consonancia y disonancia) definiré la consonancia como las relaciones más cercanas y sencillas con el sonido fundamental y la disonancia como las más alejadas y complejas”16 en las que incluye a la Segunda Mayor y Menor, la Séptima Mayor y Menor,la Novena, etc. Además de todos los intervalos disminuidos y aumentados”

Antes decíamos que la octava es una progresión geométrica en base 2 y una de sus características inherentes, es su estructura de crecimiento: está basada en la progresión geométrica en base 2 y produce una gama ascendente o descendente partiendo de la unidad.

2n 1/16 1/8 1/4 1/2 1/1 2/1 4/1 8/1 16/1 2n/1

Si representamos una octava como una cuerda en la que punteamos cada nota, podemos ver que la octava, desde el punto de vista geométrico, configura octavas dentro de octavas. Es decir,si la octava avanza de 1/1 a 2/1 podemos comprobar que la relación Primera-Quinta al igual que Quinta-Octava son dos octavas de valor 1/2, que la relación Tercera-Quinta es una octava ¼ o que la relación Segunda-Tercera es una octava 1/8….

Fig.4

En el capítulo XViI, dedicado a las matemáticas de la música, del libro “Filosofía y Mística del Número” 17, Matila Ghyka expone un dibujo de cuardas vibrantes armónicas y es fácil comprobar lo que estamos diciendo: los armónicos Primero, Segundo, Cuarto y Octavo funcionan como cuatro notas Do o Primeras.

Fig.5

Esto es, podemos utilizar la gama musical como el ámbito o espacio de las proporciones más comúnmente utilizadas en la arquitectura, donde los números geométricos o inconmensurables √2,√3 y la divina proporción o número Ф,tienen sus aproximaciones definidas por la relación de dos números enteros (7/5 para √2 , 8/5 para Ф y 7/4 para √3) y ocupan su lugar característico en este ámbito y por ello, planteando una visión de la proporción como una escala cualificada de crecimiento contenida entre el Uno y el Dos, la Unidad y la Dualidad.

Notas: Las nociones básicas de este artículo corresponden a una de las clases clase teórica sobre proporción, impartida durante casi doce años, en la asignatura de Proyectos 2 del Departamento de Arquitectura de la universidad Alfonso X El Sabio.

1.- Timeo, Platón, Editorial Gredos 1988.
2.- M. aritmética = (1+2)/2=3/2. ; M armónica= (2x1x2)/(1+2)=4/3
3.- Platon. República. B. Clasica Gredos. 1988.
4.- Le Corbusier. El Modulor. Editorial Poseidon. 1961.
5.- O dicho de otra manera, si a las notas Mi, La y Si de la gama ptolemaica las afectamos por la fracción 81/80, se convierten en las notas de la gama pitagórica: 5/4 = (80/81) x (81/64) ; 5/3 = (80/81) x (27/16) ; 15/8 = (80/81) x (243/128).
6.- Hans Kayser. Text of Harmonics. Sacred Science Translation Society Edition. Volumen 1. 2006.
7.- (4/3) x (5/4)=5/3
8.- (5/3) x (6/5)=2/1
9.- (1/1) x (5/4)=5/4
10.-(5/4) x (6/5)=3/2
11.-(3/2) x (5/4)=15/8
12.-(15/8) x (6/5)=9/8
13.- A. Schönberg .Armonía. Real Musical Editores. Madrid 1992.
14.- Petrus Talemarianus. La Arquitectura natural. Idem anterior.
15.- A. Schönberg. Idem anterior.
16.- “Color”. Harald Kuppers. Ed. Lectura. 1973.
17.- Matila C. Ghyka. Fisosofía y Mistica del Numero. Edic. Apóstrofe

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