Proporción 2: Los inconmensurables (Revisado)

Platón hablaba de los números inconmensurables como tales pero conmensurables en potencia refiriéndose a Ѵ2, Ѵ3 y el nº Ф. Números eminentemente geométricos.
Todo empezó con las dos figuras esenciales representativas del cielo: el círculo, y la tierra: el cuadrado. Cuando los primeros geómetras pusieron en relación el círculo y el cuadrado inscribiendo éste último en el primero, se encontraron que la relación entre el radio del círculo y el lado del cuadrado era un número inconmensurable, configurando la escuadra 1/1/Ѵ2.

El primer movimiento implícito en la figura anterior, fue abatir la hipotenusa √2, sobre el eje horizontal y se formó el siguiente triángulo rectángulo 1/√2/√3.

El segundo movimiento implícito fue el abatimiento de la hipotenusa √3, y se formó el siguiente triángulo 1/√3/2 o cartabón.

El tercer movimiento, de nuevo fue el abatimiento de la hipotenusa de valor 2 y se formó el tercer triángulo rectángulo 1/2/√5, que introducirá el nº inconmensurable Ф.

Hemos partido de la escuadra 1/1/√2 y el segundo abatimiento define la escuadra 1/√3/2 o cartabón que junto al compás, han sido instrumentos esenciales del arquitecto.
Estos tres movimientos, partiendo de la escuadra, pueden también considerarse como el alargamiento del cuadrado original de lados 1/1 hasta su duplicación en el rectángulo 1/2. Y como inciso podemos decir que así como en música se define la escala diatónica desde el unísono 1/1 hasta la octava 2/1, en geometría se puede considerar desde el cuadrado hasta el doble cuadrado. Y lo que en música se definen como etapas intermedias o notas como relación de dos números enteros (ver la figura 2 Proporción 1: las medias), en geometría se define a través de los números inconmensurables √2, √3 y √5, que tienen sus aproximaciones, por exceso y por defecto, en las relaciones de dos números consecutivos como 7/5 y 10/7 para √2, 7/4 para √3 y 9/4 para √5.

Petrus Talemarianus [1] cuenta que en la tradición china se conoce una escuadra perfecta que es el triángulo 3/4/5 al que le corresponden cuatro escuadras aproximadas de la misma manera que al elemento éter (la quintaesencia), le corresponden los cuatro elementos: aire, fuego, agua y tierra. Se las llama escuadra de los elementos porque al aplicar la regla de Pitágoras se produce el juego de la unidad en más o en menos:

3/4/5       3² + 4² = 5²
5/5/7       5² + 5² = 7² + 1
4/7/8       4² + 7² = 8² + 1
4/8/9       4² + 8² = 9² – 1
8/9/12     8² + 9² =12² + 1

En la tradición occidental, la escuadra 5/5/7 es la escuadra 1/1/√2, la escuadra 4/7/8 es el cartabón de 1/√3/2, la escuadra 4/8/9 corresponde a 1/2/√5. Por último, la escuadra 8/9/12, correspondiente a la tierra, plantea, podríamos decir, un cambio de dimensión con respecto a la primera o escuadra perfecta 3/4/5 del éter, esto es, si la escuadra del éter tiene como catetos 3¹ y 2², la escuadra de la tierra corresponde a los catetos 3² y 2³. Un último comentario, antes hemos citado la escala musical de Zarlino [2] basada en la progresión 12:9=8:6 que podemos comprobar, está implícita en la escuadra de la tierra de la tradición china.

El tercer abatimiento (Fig.4) que ha conformado la escuadra 1/2/√5 introduce geométricamente, al nº Ф. Su construcción geométrica más sencilla es mediante el abatimiento de la semidiagonal del cuadrado de lado unidad con el que hemos empezado y la construcción geométrica mediante el doble cuadrado da el valor 1/Ф.

Sobre este número hay mucho escrito. Matila C. Ghyka en los libros “Estética de las Proporciones” y en “El Número de Oro, Los Ritos y los Ritmos” hace un repaso general de esta proporción. Luca Pacioli [3] en 1509 le dedica un libro “La Divina Proporción” con dibujos de Leonardo de Vinci y de Paolo Ucello.

Pacioli subtitula a esta obra como “Obra muy necesaria a todos los ingenios perspicaces y curiosos, con lo que todo estudioso de filosofía, pintura, escultura, arquitectura, música y otras disciplinas matemáticas conseguirá suavísima, sutil y admirable doctrina, y se deleitará con varias cuestiones de secretísima ciencia”. El libro desgrana los trece “dignísimos efectos” matemáticos y geométricos.

Euclides ya la definía como relación de media y extrema razón, entendiendo que era dividir una longitud en dos partes desiguales (A y B) de manera que la relación del mayor al menor sea igual a la suma de los dos con respecto al mayor.

(A/B) = (A+B) / A

donde Ф es la solución positiva de la ecuación x²= x + 1.

El abatimiento de la semidiagonal del cuadrado da el valor de Ф y la construcción geométrica mediante el doble cuadrado da el valor 1/Ф.

En el siglo XIII, Fibonacci escribe el primer tratado de álgebra escrito por un cristiano y se lo dedica al astrólogo de Federico II, Miguel Scott. En éste libro cuenta que al calcular el número de conejos que podrían salir de una primera pareja, se encontró con una serie de números enteros en la que la razón de dos números consecutivos, tiende a Ф y que posteriormente ha sido conocida como serie Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34….

El nº Ф también tiene otra serie, llamada de Lucas o potencias de Ф: 1, 1, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47… cuyo resultado es obten ido al combinar la serie Fibonacci sencilla y las formada por los números alternos.

Esto nos lleva a la consideración de lo que Petrus Talemarianus [4] califica como las “escuadras de la forma” para distinguirlas de “las escuadras de los elementos”. Estas las considera constitutivas de la pirámide de Keops y corresponden a 1/√Ф/Ф para la definición de la altura y la escuadra 1/Ф/H para el lado de la pirámide [5]

Una aplicación práctica de la capacidades contenidas en el nº Ф está desarrollada por Le Corbusier en el libro “El Modulor” [6].

Este libro tiene mucho de autobiográfico y el propio Le Corbusier lo cuenta como una historia de su proceso de descubrimiento. En el Preámbulo escribe sobre, “la necesidad de encontrar una gama de medidas visuales” capaces de unir o enlazar el trabajo de los hombres y la evidencia o “el hecho de la presencia de dos sistemas difícilmente conciliables: el sistema de los anglosajones y el sistema métrico decimal” [7].

“Los Partenones, los templos de la India y las catedrales, las chozas y las casas, se construían en lugares precisos: Grecia o Asia, etc, productos estables que no viajaban y no tenían que viajar y, por tanto, no había razón para reclamar una unificación de medidas…” pero “… la Tierra quedó dividida en dos: los que usaban los pies y las pulgadas y los partidarios del metro. El sistema de pies y pulgadas firmemente unido a la estatura del hombre, pero de una manipulación atrozmente complicada, y el metro indiferente a la talla de los hombres y dividiéndose en medios y cuartos de metro, en decímetros, centímetros, en milímetros, en tantas medidas indiferentes a la estatura humana puesto que no existe ningún hombre que tenga un metro o dos metros”. [8]

“La arquitectura, la escultura y la pintura, dependen específicamente del espacio y están adscritas a la necesidad de regirlo, cada una por medios apropiados. Lo que aquí diremos esencialmente es que la clave de la emoción estética es una función espacial”. [9]

Desde 1918, Le Corbusier llevaba intentando diversos trazados reguladores, entendiéndo este concepto como equilibrio geométrico, como orden y claridad. “El trazado regulador no aporta ideas poéticas, ni líricas, ni inspira de ninguna manera el tema; no es creador, sino equilibrador: problema de pura plasticidad” [10].

A partir de 1943-45 se centra, junto a sus colaboradores, en encontrar un sistema flexible de dimensiones basado en que las proporciones del cuerpo humano sean la llave de la proporción en la arquitectura y que el sistema esté integrado en el método geométrico clásico de construcción de la sección aurea en el doble cuadrado.Y realmente, la geometría del Modulor es similar al método de construcción de la sección aúrea.

El Modulor desarrolla dos series aditivas, la roja y la azul, partiendo de un cuadrado de lado 113 cm y del doble cuadrado 226 cm. Su construcción geométrica le define ya una serie de medidas relacionadas con la altura del hombre.

Así, la serie roja se determina en función de 113 cm (44” pulgadas) como altura del ombligo y de 183 cm (72” o 6 pies) como estatura del hombre.

La serie azul queda determinada por la medida de 226 cm (144”) como altura del hombre con el brazo levantado y de 140 cm (55”) como altura del plexo solar, lo que determina la medida de 70 cm (27,5”) como altura del brazo apoyado. A partir de estas cinco medidas desarrolla las dos series indefinidamente, sin intervalos significativos de cambio de escala. La Unidad de Habitación de Marsella, de 1948, es el ejemplo más evidente del uso del Modulor en todo el proceso de definición del proyecto.

Richard Padovan [11] en su libro “Proportion” hace un análisis de la aplicación del Modulor en la Unidad de Habitación. En el libro utiliza dos conceptos “empatía” y “abstracción” como guía comparativa de los sistemas conocidos de proporción. Dos conceptos, opuestos y complementarios, que ilustran dos maneras de entender y comprender.

Por ser nosotros mismos parte de la naturaleza, la empatía es connatural al hombre y es una afinidad natural, una habilidad innata para conocerla y entenderla. Le Corbusier sea un buen ejemplo cuando llama a esta afinidad “una traza indefinible del Absoluto que permanece en los profundo de nuestro ser” [12].

Define la abstracción como la tendencia a considerar la naturaleza como elusiva y quizás, insondable e incomprensible; la ciencia y el arte son abstracciones, construcciones artificiales que levantamos contra la naturaleza en orden a intentar asirla y ordenarla. El monje benedictino Dom Hans van der Laan, creador del sistema de proporción del número plástico (otro nº inconmensurable) sea el otro ejemplo cuando dice que un sistema proporcional “no deriva de la naturaleza y se aplica a la arquitectura sino al contrario, se manifiesta en la arquitectura y se impone a la naturaleza” y afirma: “Donde quiera intervenga el intelecto humano como principio formativo, inmediatamente allí aparece una violación o rotura con el mundo homogéneo de las formas naturales” [13]

Y esto introduce el siguiente nº inconmensurable ψ o número plástico que estudiaremos en los artículos dedicados a las Espirales de los Números Geométricos…

Revisado: Agosto 2023

Notas:
[0] Este artículo es el segundo de la serie y corresponde a una de las clases teóricas impartida durante once años en la asignatura de Proyectos 2. Departamento de Arquitectura. Universidad Alfonso X El Sabio. Villanueva de la Cañada. Madrid
[1] Ver Petrus Talemarianus, “De L´Architecture Naturell” o “Rapport de Petrus Talemarianus sur l´etablissement, d´apres les príncipes du tantrisme, du taoisme, du pytagorisme et de la Cabala, d´une “Regle d´or” servant a la realisatión des lois de l´harmonie universelle contribuant a l´accomplissement du grand oeuvre”. Ediciones Vega, Paris 1948.
[2] ya mencionado en la pag.2 del anterior artículo Porporción 1: las medias
[3] Luca Pacioli. La Divina Proporción. Ed. Losada. Buenos Aires 1946..
[4] Idem anterior
[5] Matila C. Ghyka en el libro “Estética de las proporciones en la naturaleza y las artes” Ed Poseidon 1983, dedica un capítulo completo al tema de la pirámide de Keops y expone los distintos estudios e investigaciones que se han elaborado. Argumenta a favor, declarándose partidario de ella, y define las mismas escuadras que P. Talemarianus describe.
[6], [7], [8], [9], [10] Le Corbusier. El Modulor. Editorial Poseidon. 1961.
Las imágenes 9 y 10 corresponden al libro de El Modulor. Idem anterior
[11], [12], [13] Richard Padovan. Proportion: Science, Philosophy, Architecture. E&FN SPON. London and New York 1988.

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