ESPIRALES DEL NUMERO PLÁSTICO: ψ. PARTE 3

1.- INTRODUCCIÓN.

Antes de comenzar con las espirales del número ψ vamos a hacer una pequeña introducción sobre dicho número y sobre su creador Dom Hans Van der Laan, arquitecto y monje benedictino de la mitad del siglo pasado.

El nº plástico es parte fundamental de su teoría arquitectónica donde el binomio espacio/actividad o acción a realizar  por el hombre en dicho espacio, está ineludiblemente unida a la  condición física del hombre.

Me impresionó el comienzo del capítulo 1 de su libro «El Espacio Arquitectónico» (1); donde expresa en forma directa y con palabras muy sencillas y muy cercanas, su concepto de proporción asequible para cualquier entendimiento. 

Item más, que comience su discurso sobre el espacio hablando de relación o proporción ya nos está indicando la importancia de que “todo está relacionado”, que no existen “absolutos independientes”, que el diálogo entre las partes define la jerarquía y el orden para la comprensión y el entendimiento de la arquitectura. 

“La tierra es demasiado dura para nuestros pies descalzos y por eso nos ponemos sandalias que son suelas hechas de un material más blando que la tierra pero más resistente que nuestros pies. No nos servirían si fueran tan duras como la tierra y se desgastarían rápidamente si fueran tan blandas como nuestros pies. Tenemos que escoger estas suelas con esmero para lograr la armonía que es la sintonía entre nuestros delicados pies y la tierra áspera”. (2)

Con este párrafo del primer capítulo centra el concepto de proporción como intermediación, como diálogo y relación pero además, lo unifica con la armonía y la sintonía; palabras que aluden a la recepción o conexión de sonidos, a frecuencias de vibración o longitudes de onda, en definitiva a temas que podemos reconocer que tienen relación directa con la música.

Y siguiendo con ese concepto clásico de proporción aplicada a los conceptos de arquitectura, ya establece desde el principio de su exposición tres términos  o tipos de espacio. El primero  lo define como “el espacio mínimo o cella” relativo a la escala de las actividades de la mano, el segundo es “el recinto” en relación a la escala de las actividades (desplazamientos) a pie y por último, “el dominio” que se corresponde al campo visual del hombre, inmersos  y rodeados por el espacio natural infinito.(3)

Y entre estos términos establece las dos cualidades  opuestas y complementarias, “dentro-fuera” y/o interior-exterior” que son los eslabones  o intervalos de la secuencia proporcional para añadir que, en base al nº plástico, “somete el mundo material al control por el espíritu”.(4)

Y en la página siguiente, ya directamente define que: “para el proceso del alojamiento humano siempre existen cuatro términos que mantienen una relación funcional entre sí:  la naturaleza, los materiales, la casa y el hombre. Se extraen los materiales de la tierra, con los materiales se compone la casa y el hombre se aloja dentro de ella.Alojamiento, técnica constructiva y elaboración del material son pues las tres funciones que relacionan los cuatro términos de hombre, casa, material y naturaleza”. (5)

Esa constante referencia a los términos esenciales y básicos, casi diríamos platónicos, de la proporción trae al recuerdo los conceptos de proporción y armonía de la tratadística clásica.

Otro librito  de Van der Laan, “Las Siete Relaciones del Espacio Arquitectónico” (6)  que especifica partes más concretas del  anterior libro ya mencionado, permite  intuir las posibles etapas de una octava descendente desde el espacio físico de la creación al  concepto de número. 

Siete relaciones o ideas vinculadas mediante un término  sutil e intencional, difícil de limitar en su significado, que podríamos intentar traducir como: “hechizo, encanto o embrujo (under the spell)”. (7). Así, una traducción personal:

– El espacio exterior de la naturaleza, atraído por el hechizo del espacio interior arquitectónico;  la atracción de los opuestos: lo ilimitado y lo limitado.

– El espacio arquitectónico cualificado por su límite, el muro (de A3 a A2)

– El muro en su cualidad geométrica de superficie; salto cualitativo de los físico a lo geométrico.

– La superficie cualificada por su límite, la línea (de A2 a A1)

– La  línea  cualificada por su límite, la medida, su propia magnitud.

– La medida bajo el hechizo del  número plástico; salto cualitativo de lo geométrico al número.

– El número «embrujado» por la proporción, el diálogo de los opuestos…

Siete frases o conceptos, que podemos interpretar diciendo que: la conciliación de los opuestos  guía el proceso y desarrolla la triada de cambios y/o niveles, desde lo físico a lo geométrico y de lo geométrico al número  cuyo nivel implica el diálogo  o relación de razones llamado proporción.

2.- NÚMEROS MÓRFICOS.

Se denomina también a este número ψ como nº mórfico. Se define el nº mórfico como aquel número real P>1 afectado por dos coeficientes m y n que permitan cumplir a P  las dos siguientes condiciones:

P+1=Pm y P-1=P-n

Sólo  existen dos números mórficos: El más conocido es la proporción aurea o nº Φ y el segundo es este número Plástico o nº  ψ.

Si sustituimos m=2 y n=1, resulta: P+1=P2 y P-1=P-1

o lo que es lo mismo: Φ+1=Φ2 y Φ-1= Φ-1=1/Φ

donde Φ es la solución positiva de la ecuación: x2=x+1 Φ=1.6180…

Si sustituimos m=3 y n=4, resulta: P+1= P4 y P-1=P-3

O lo que es los mismo, si sustituimos P por ψ, resulta: ψ+1=ψ4 y ψ-1=ψ-3

donde ψ es la solución positiva de la ecuación x3= x+1 ψ=1.32471…

Una cualidad distintiva de ambos números está expresada geométricamente definiendo al nº Φ como la armonía en el plano y  al nº ψ como la armonía  en el espacio. Respecto al nº Φ:  si dibujamos dos rectángulos de lados 1 y Φ, colocados uno con la base Φ y yuxtapuesto el otro con la base 1, la diagonal del primero pasa por el vértice superior del segundo. F1 

F1. Diagonal del plano en Φ.
F2. Diagonal en el espacio en ψ.

Respecto al nº ψ: dos paralelepípedos de lados 1, ψ y ψ2 colocados yuxtapuestos e invertidas sus posiciones, la diagonal del primero con base ψ y ψ2 y altura 1, pasa por el vértice superior derecho del segundo.  F2

Y así como la serie Fibonacci o la serie Lucas (potencias de Φ) son  el límite de la sucesión cuyos términos son los cocientes de dos términos sucesivos de aproximación en números enteros a Φ, la serie de Padovan (8) donde cada término se genera a partir de dos términos precedentes, cumple los mismos requisitos en relación al nº ψ.

Y un último apunte que podemos añadir a las “coincidencias” y tiene que ver con el triángulo de Pascal.

En la F3, podemos ver que  la suma horizontal  de cada línea de  números reproduce una  progresión geométrica en base 2  que también podríamos llamar, un crecimiento por octavas.

F3 y F4. Triángulo de Pascal: en función de la suma de sus números se obtiene la serie de potencias de 2 y la serie de Padovan.

En la F4, las suma «diagonal» de los números reproduce la serie de Padovan como límite al nº plástico.

3.- ESPIRALES DEL Nº PLÁSTICO.

Comenzamos el desarrollo de las espirales del número plástico ψ. En el  artículo anterior sobre “Espirales de los Números Geométricos. Parte 1”,  ya hemos definido el crecimiento angular mediante giros de 117º y un crecimiento lineal mediante la fracción 16/15 o semitono diatónico de la escala musical. También dijimos que este número cierra su crecimiento en 13 vueltas y 40 puntos han quedado definidos en el recorrido. F5.

F5. Representación del ciclo completo del nº plástico de 40 puntos

También hemos comentado que  así como los otros tres números geométricos, √2, √3, y Φ  ocupan regularmente el plano o el espacio, el nº ψ, plantea una ocupación muy selectiva: los puntos que fijan el ciclo determinan a simple vista,  tres espirales manteniendo  las tres una secuencia numérica basada en el tres.

 Y como en el anterior artículo titulado «Espirales del nº φ. Parte 2», reduciendo a los nueve primeros números todos los puntos hallados (9), vemos como de forma natural los puntos se organizan sobre tres triadas repetitivas: 1/4/7, 2/5/8 y 3/6/9. F6  

F6. Representación parcial de los puntos reducidos a los 9 primeros números.

Dada la  singularidad de la posición de los puntos, utilizaremos la línea recta como unión entre ellos utilizando para su crecimiento los primeros números de la serie de Padovan. 

  • La razón 1/1 de crecimiento es una espiral dextrógira definida por rectas que recorren los 40 puntos. F7.
  • La razón de crecimiento 1/2 define dos espirales levógiras y la reducción  numérica indica que las dos espirales alternan un  ritmo basado en los cinco primeros impares  seguidos de los cuatro pares y viceversa, en ambas espirales: 0/2/4/6/8/1/3/5/7/9. F8.

Podemos generalizar diciendo  que, al reducir la numeración  de cada punto a los nueve primeros números, las razones que  aplicamos para los crecimientos angulares de los nº geométricos contienen, cada una, su propio ritmo o su propia ley numérica, y la formalización  concreta de casa espiral queda definida por la posición de los puntos en el espacio determinado por cada nº geométrico.

  • Un tercer crecimiento mediante  la razón 1/3 produce  tres espirales levógiras que siguen la secuencia  repetitiva ya indicada:  3/6/9 la primera, 1/4/7 la segunda y la tercera 2/5/8. Misma secuencia que las tres espirales del nº φ ya comentadas en el  articulo ya citado. F9 .

Esta triada repetitiva de la razón 1/3  trae el recuerdo del eneagrama (10)  donde el equilátero central sigue la secuencia 3/6/9 y los dos triángulos simétricos, uno reproduce la secuencia 1/4/7 y el otro, 2/5/8. 

  • Un cuarto crecimiento mediante la razón 1/4  produce por primera vez, cuatro espirales dextrógiras; éstas siguen una secuencia numérica añadiendo a cada número la cantidad de cuatro unidades, por ejemplo 1/5/9/4/8/3/7… F10.
  • Un quinto desarrollo mediante la serie 1/5 y cinco espirales levógiras  y la secuencia numérica resulta al añadir a cada número cinco unidades, como por ejemplo, 1/6/2/7/3/8/4…F11.
  • Y un sexto crecimiento mediante la serie 1/7 donde las siete espirales son dextrógiras…F12.

Es curioso comprobar como esa «forma triangular» es dominante cualquiera sea la razón elegida de crecimiento. Forma triangular de distribución de los puntos en el espacio que hace recordar las anteriores espirales de razón 1/7 del nº Φ.

Por último, vemos  en la figura 13, el crecimiento mediante 1/16 dibujado con trazo curvo. Las dieciseis  espirales son dextrógiras reproduciendo una imagen curiosa de «trébol» y esa triple «sectorización»  del espacio.

F13. Espiral de razón 1/16.

Resumiendo, podemos decir que las espirales del nº ψ tienen un comportamiento «singular». No tanto producido por el ritmo o ley numérica sino por la posición de sus puntos en el espacio. Así, las correspondientes a las series de crecimiento 1/2, 1/3 y 1/5 son todas ellas levógiras y las espirales de crecimiento 1/1, 1/4, 1/7 y 1/16 son todas ellas dextrógiras.

Las espirales 1/2 siguen la secuencia de los nueve primeros números alternando todos impares y  seguido de los pares y viceversa.

Las espirales 1/3, siguen cada una de ellas, una de las tres secuencias ya mencionadas: 3/6/9, 1/4/7 y 2/5/8. 

A partir de la espiral de crecimiento 1/5, las secuencias numéricas reducidas a los nueve primeros números son algo más complejas.

Es evidente en los dibujos anteriores cómo el  crecimiento de las espirales, independiente de su razón de crecimiento, siempre mantiene la huella de esa triple espiral que está en la esencia del crecimiento angular de este número. La similitud de las espirales dibujadas indica la fuerte presencia de la triada, en la ordenación de los puntos.

4.- ESPIRALES Y OCTAVA.

Si aplicamos de nuevo, como ya hemos visto en las  espirales del nº  Φ,  la inserción del crecimiento angular de la octava musical (11) sobre esa particular distribución de los puntos de este número, encontramos que las notas Fa y La, angularmente definidas por 120º y 240º, no aparecen relacionadas con ninguno de los puntos, no existen; en cambio aparecen las notas que podemos calificar como Fa# (7/5)y Sol# (8/5).

Asi, en una primera visión,  todas las notas están contenidas en las tres espirales de razón 1/3: una espiral contiene las notas Do, Re y Mi; una segunda se califica por la notas Fa# y  Sol y una tercera define las notas Sib y Si de la octava angular de 360º. F14.

F14. Representación de las notas de la octava angular.

En la espiral de crecimiento 1/4/7/10/13/… aparecen las notas Do(p.40), Re(p.25), Mi(p.10) de la octava angular de 0º/360º (1/1) como  ya hemos visto en articulo anterior sobre  las espirales del nº Φ (12). Además de estos puntos ya mencionados comienzan a sobresalir los puntos  de las notas interiores de las octavas Do/Re (0º/45º o 1/8) correspondientes a los puntos 34 como Fa# y 31 como Sol#. Respecto a la octava Re/Mi (45º/90º o 1/8), de nuevo los puntos 19 como valor 7/5 y 16 como 8/5. 

En la  segunda espiral  2/5/8/11/14/… además de  la nota Sol ya mencionada, sobresale Fa# (p.32) y Sol p.8) de la octava general (1/1). También se significan los puntos 5 como Mi(p.5), el punto 38 como Fa# y punto 32 como Sol# de la octava interior Mi/Sol (90º/180º o 1/4), además del p.35 como nota Sol de esta misma octava.

En la tercera espiral 3/6/9/12/15/…, además de las notas generales ya mencionadas, aparecen el punto 24 como  nota Sol# de  la octava general (1/1), además del punto 36 como Fa# de la octava Sol/Do (180º/360º o 1/2).

Por último, una de las espirales de crecimiento de razón  1/5, 0/5/10/15/20/25/30/35/40, que reducida a los nueve primeros números, representa el ritmo alternado de ellos: 0/5/1/6/2/7/3/8/4, recoge la gama de la escala diatónica a excepción de las notas Fa y La, y las líneas rectas de  unión de los sucesivos vértices  de la serie, reproduce siempre un ángulo de 45º. F15.

F15. Representación de la espiral 1/5 mediante la unión de los puntos por rectas.

En el anterior artículo de  las “Espirales de los números geométricos. Parte 1” ya mencionamos la relación entre la vibración de una cuerda y su conversión en un polígono regular. Podemos añadir que  todas las notas significadas por  la posición de los  puntos, bien el plano bien en el espacio, definidas por el crecimiento angular de  ψ, están contenidas en la vibración del armónico octavo. F16. 

F16. Octógono con sus vértices nombrados

 4.- IZQUIERDA Y DERECHA.

Y con los mismos criterios utilizados para el estudio del nº φ ya desarrollado en «Espirales de los números geométricos. Parte 2», vamos a trazar un eje virtual sobre la F5 del comienzo que una los puntos 0 y 40. diferenciando entre el lado izquierdo (I) y el derecho (D) y significar todos los puntos hallados en función de su posición respecto a este eje.

Así, en la primera vuelta:

0) 0º –

1) 117º (D)

2) 234º (I)

3) 351º (I)

En la segunda vuelta:

4) 108º (D)

5) 225º (I)

6) 342º (I)

En la 3ª vuelta:

7) 99º (D)

8) 216º (I)

9) 333º (I)

(en nota 12 a pié de artículo, se exponen todas las vueltas)

Revisando estas trece vueltas podemos comprobar que solo hay tres posibilidades:

DI = A

DII=B

DDI=

y por ello, el sistema de crecimiento se ordena:

V1   V2   V3   V4   V5   V6     V7      V8  V9  V10  V11  V12   V13

 B     B    B    B    B     B     A        C    C     C     C     C      C

se produce un a simetría implícita en la vuelta séptima que contiene el eje de simetría definido por el punto 20 como desarrollo angular de 180º… La ordenación resultante resulta curiosa … Esa simetría implícita central B A C del proceso no es «visible» en la organización de los puntos ni en las diferentes formas espirales. Sí indica que  la triada central produce una «reverberación» triádica  repetitiva (D I I o D D I) desde el centro A hacia los  dos extremos, origen y final del ciclo.

Vamos a finalizar este artículo dedicado a las espirales del número ψ con  dos imágenes  que sinte-tizan las diferencias existentes entre esos dos números geométricos, ψ y φ. Los criterios de dibujo  son los mismos  y la escala necesariamente es diferente, el nº ψ cierra en trece vueltas y 40 puntos y el nº φ, como 137,5º, cierra en 144 puntos y 55 vueltas.  Esto es, están representados en una escala similar pero  no olvidemos que el ciclo del nº φ es casi cuatro veces mayor   que el ciclo del nº ψ. Lo que sí es evidente es la organización tan diferente de ocupación del espacio o el plano.

Recordemos que el nº φ se expande en todas las direcciones sectorizando  el  espacio mediante  siete espirales de razón 1/21, dextrógiras y equidistantes, cada una definiendo  y coloreando mediante la nota predominante esa porción de espacio. Una espiral de razón 1/3 recorre todos esos puntos significados unificando el proceso. F17.

Como ya hemos visto en todas las imágenes y dibujos del nº ψ, su expansión sectoriza el espacio mediante tres espirales de razón 1/3, levógiras, que caracterizan cada región del espacio según las etapas de la octava. La espiral de razón 1/1 unifica todos los puntos significados. Así la primera, basada en el triple ritmo, 1/4/7 contiene el inicio o los tonos más graves de la octava 1/1, el Do/Re/Mi, apoyado por dos notas Fa# y Sol# de las dos  octavas interiores 1/8. La segunda basada en el ritmo 2/5/8, sigue la entonación con las notas Fa# y Sol, apoyada de nuevo con los sonidos Mi/Fa#/Sol de octavas interiores y por último, la espiral de ritmo 3/6/9, recoge los notas más agudas  Sol#/Sib/Si de la octava general con el fondo de  Fa# y Sol# de las octavas interiores que apoyan  o complementan ese final de vibración de los tonos de la gama musical. F18.

La segunda imagen recoge los círculos concéntricos de vibración de las notas.  La figura 19 corresponde al nº φ  y la  figura 20 al nº ψ representando los ciclos completos de cada número; quedan fuera los números √2 y √3, debido a la amplitud de sus ciclos.

En ambos casos, el ritmo  concéntrico de los círculos va marcado por las radios de las notas. En el caso del  nº φ,  siete círculos de crecimiento recogiendo las siete notas de la octava diatónica. En el caso del nº ψ, cinco círculos recogiendo las cinco notas de una escala pentatónica… pero no olvidemos los ciclos, el primer dibujo es de 144 puntos y el segundo de 40; ambos  con dos diferentes razones lineales de crecimiento ψ.

En los próximos artículos, examinaremos los dos siguientes números geométricos…

Notas:

1, 2 . – Dom Hans van der Laan. «El espacio arquitectónico». WIN edita.

3.- Idem anterior. Esto trae al recuerdo la teoría arquitectónica de Juan Borchers y sus escritos, entre ellos, los libros Institución Arquitectónica y Metarquitectura. Mathesis ediciones Santiago de Chile.1975.

Jesús Bermejo Goday ha continuado desarrollando magníficamente estos conceptos de “escala” en varios artículos; entre ellos cinco dedicados a la arquitectura de Palladio y recogidos en la revista AXA. Universidad Alfonso X El Sabio. 1978. 

4 y 5.- Idem anterior.

6.- Dom Hans van der Laan. «The line under the spell of the measure». Henry Moore Foundation External Programmes. Adij Sint Benedictusberg Vaals and the Van der Laan Foundation. 2000.

7.- Idem anterior.

The outside under the spell of the inside.

The inside under the spell of the wall.

The wall under the spell of its surface.

The surfacde under the spell of the outline.

The line under the spell of its measure.

The measure under the spell of the plasctic number.

The number under the spell of the ground ratio.

8.- Recibe el nombre del arquitecto y matemático inglés Richard Padovan que tradujo al inglés el tratado de arquitectura Architectonic Space de Van der Laan y encontró la serie.

9.- Reducción numérica como por ejemplo, el punto 36=3+6=9, el punto 26=2+6=8, etc.

10.- «La octava y la vivencia del tiempo.» ML. Lopez Sardá.  Desarrolla con más detenimiento este símbolo del eneagrama.

Según P. Talemarianus, en el libro «La Arquitectura Natural» expone que el origen de este símbolo está en la tradición védica. Representa gráficamente la Eneada Védica que simboliza la correspondencia de los tres mundos: el Causal o Espiritual, el Sutil o Mental y el Físico o Denso Material; también representa las nueve etapas de la creación desde el Absoluto o punto 1 a su Divina manifestación representado por el punto 9 como «La gloriosa manifestación del Uno».

11.- M.Luisa Lopez Sardá. «Espirales de los números geométricos. Parte 2». La Fig.16 de dicho artículo, explica el desarrollo de la octava que al ser una progresión geométrica en bases 2, permite la existencia de octavas dentro de la propia octava.

12.- Relación de las vueltas, grados y situación de los 40 puntos del nº ψ.

La 4ª vuelta:

10) 90º (D)

11) 207º (I)

12) 324º (I)

La 5ª vuelta:

13) 81º (D)

14)198º (I)

15) 315º (I)

La 6ª vuelta

16)72º (D)

17) 189º (I)

18) 306º (I)

La 7ª vuelta:

19) 63º (D)

20) 180º – 

21) 297º (I)

La 8ª vuelta:

22) 54º (D)

23) 171º (D)

24) 288º (I)

La 9ª vuelta:

25) 45º (D)

23) 162º (D)

27) 279º (I)

La 10ª vuelta:

28) 36º (D)

29) 153º (D)

30) 270º (I)

La 11ª vuelta:

31) 27º (D)

32) 144º (D)

33) 261º (I)

La 12ª vuelta:

34) 18º (D)

35) 135º (D)

36) 252º (I)

La 13ª vuelta:

37) 9º (D)

38) 126º (D)

38) 243º (I)

40) 360º  –

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