ESPIRALES DE LOS NÚMEROS GEOMÉTRICOS. PARTE 1

PRÓLOGO

Esta serie de artículos  dedicados a las “Espirales de los Números Geométricos” fueron colgados en la web acordesarquitectonicos.com en el año 2012, aunque el interés por el tema me lleva acompañando desde los años 80 del siglo pasado.

Hace unos meses me vinieron al recuerdo y los volví a releer … y lo que empezó siendo una “revisión” de un tema ya estudiado, fue convirtiéndose en un paso más en la profundización de una investigación que había considerado acabada.

Era claro el origen de las espirales…Un punto, un patrón de crecimiento definido por los cuatro números geométricos: ψ, φ, √2 y √3,  contenidos entre el Uno y el Dos, caracterizando un modo de rotación o razón angular intrínseco a cada  número y un modo de expansión o razón lineal con posibilidad de ser común a todos ellos.

Cada uno con un diferente movimiento angular entre los 0º y los 360º, una diferente velocidad definida por el número de puntos necesarios para cerrar cada ciclo y en consecuencia, un diferente sistema de ocupación del espacio o escenario de comienzo.  

Lo que presentamos, está organizado en cuatro partes y un apéndice y corresponde al conjunto de aspectos estudiados a lo largo de este tiempo…

Mayo 2023

PARTE 1

Vamos a ir presentando las espirales de los números geométricos,  «inconmensurables como números pero conmensurables en potencia» según Platón, contenidos entre el 1 y el 2. En los artículos anteriores sobre Proporción (1), ya los hemos mencionado en sus geometrías básicas y ahora los estudiaremos en su movimiento angular como posibles patrones de organización y distribución de puntos en el espacio. En primer lugar, veremos:

– El nº  ψ  o nº plástico que dio a conocer Dom Hans van der Laan. Se reconoce en la serie de números enteros o serie de Padovan 1,1,1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16,…  donde esta  sucesión de números produce una primera espiral de triángulos equiláteros. (2)

– El nº √2, diagonal del cuadrado de lado unidad, que puede producir la serie 1, √2, 2, 2√2… Y también da origen a la serie θ=1+2, cuya progresión geométrica es 1, θ ,θ^2, θ³, θ⁴, θ⁵,…

– El nº Φ, que  al igual que el nº θ, puede producir la serie 1, Φ, Φ², Φ³, Φ⁴, Φ⁵, …, cuya aproximación en números enteros es la conocida serie de Fibonacci 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,… O la serie de Lucas (o de potencias de Φ) 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, …

– El nº √3, puede producir la serie 1, √3, 3, 3√3, … Todos capaces de crear series numéricas de crecimiento. 

En este estudio, cada giro concreto posiciona un número definido, en cada caso, de  “ejes” girando  o un nº  concreto de vueltas que cierran el proceso al alcanzar los 360º. Es decir, el proceso o ciclo de cada número, es finito y el nº de vueltas  define la complejidad  y por qué no,  la belleza intrínseca de cada número.

Si  cada número geométrico  lo expresamos mediante su relación angular, nos encontramos que

– para el nº ψ , su crecimiento angular sería partiendo de 0º, giros de  117º; en este caso, 13 vueltas completas nos llevarían a los 360º. [(360º x 1,325=477º), (477º-360º=117º)].

– para √2, su crecimiento angular sería mediante  giros de 149º y 149 vueltas nos llevarían desde los 0º del comienzo a los 360º del final. [(360º x 1,4142= 509,11º), (509º-360º=149º)].

–  para el nº  Φ , su crecimiento angular sería bien a través de 222,5º o de 137,5º. Dichos ángulos refle-jarían  el crecimiento angular de Φ con   el ciclo de cierre  del proceso en 89 vueltas para el primero y  55 vueltas  para el segundo. [(360º x 1,618= 582,48º), (582,5º-360º= 222,5º) o su complementario 137,5º]. La relación angular es 360º/222,5º/137,5º =Φ

– por último, para √3 su crecimiento angular estaría basado en giros de 263,5º y 527 vueltas llevarían el proceso desde los 0º hasta los 360º.[(360º x 1,732=623,52º), (623,5º-360º=263,5º)].

Como ya hemos comentado, comenzamos el proceso partiendo de un patrón angular intrínseco a cada número geométrico y una razón lineal que en este caso, se diferenciará para el nº ψ, en 16/15, debido a su corto  y característico ciclo y mantendremos una misma razón lineal, 49/48 para los tres siguientes números geométricos. (3)

Los ciclos de √2 y de √3, son largos y difíciles de representar en el formato utilizado.  Se ha utilizado una misma escala de representación para  las 13 vueltas del nº Ψ  y las 55 vueltas del nº Φ como ciclos completos;  en el caso de las 149 vueltas del nº  √2 y las 527 vueltas del nº √3, el estudio se ha acotado a los primeros 90 puntos de sus correspondientes ciclos manteniendo la misma escala. 

Para la serie del nº ψ, el crecimiento angular produce el dibujo de la F1. Es decir, si empezamos  la construcción de los puntos desde el centro o punto invisible, su eje vertical  define el comienzo angular en  0º. Si desde ese centro aplicamos una longitud de valor la unidad, queda definido el punto 0. Un giro de 117º y un crecimiento lineal de 1x(16/15) definirá el  punto 1. Sobre este nuevo eje, el mismo giro de 117º y el mismo crecimiento lineal definirá el punto 2 y así sucesivamente hasta completar 13 vueltas y los 360º. En este recorrido 40 puntos han quedado definidos.

Para la serie del   nº √2, el crecimiento angular produce los dibujos de F2 y F3. La F2 recoge en síntesis y a una escala reducida, parte del vasto espacio del ciclo con una razón lineal  de crecimiento de 81/80. La F3 representa a escala,  con una razón de crecimiento de 49/48 y la misma unidad de medida para los cuatro números geométricos, los primeros noventas puntos de este ciclo.

Para su desarrollo se utiliza  el mismo criterio anterior. Si empezamos  la construcción de los puntos desde el origen o punto invisible, su eje vertical  define el comienzo angular en  0º.  Si desde ese centro aplicamos una longitud de valor la unidad, queda definido el punto 0. Un  giro de 149º  y una medida lineal de 1x(49/48) definirá el punto 1 y el nuevo eje. Sobre este nuevo eje un giro de 149º y la misma razón de crecimiento lineal (1x(49/48)x(49/48)) definirá el punto 2 y así sucesivamente… hasta completar 149 vueltas y llegar a los 360º. En este recorrido angular 360 puntos han sido definidos.

Para su estudio  en Parte 4, partiremos de esta F3 correspondiente a  una cuarta parte del ciclo.

Para la serie del  nº Φ,  el crecimiento angular produce el dibujo de la F4, Es decir, la proporción aúrea en su valor angular de 137,5º, cierra su crecimiento en 55 vueltas y  144 puntos han sido definidos en el recorrido. 

Con  los mismos criterios utilizados, si empezamos  la construcción de los puntos desde el origen o punto invisible, su eje vertical  define el comienzo angular en  0º. Si desde ese centro apli-camos la longitud de valor la unidad, queda definido el punto 0. Un giro de 137,5º y un crecimiento lineal de 1x(49/48) definirá el  punto 1. Sobre este nuevo eje, el mismo giro de 137,5º y el mismo crecimiento lineal definirá el punto 2 y así sucesivamente hasta completar 55 vueltas y los 360º. En este recorrido 144 puntos han quedado definidos.

En la F5 y con los mismos criterios de dibujo, está representado el escenario punteado del nº φ como valor Φ angular de 222,5º. Cierra su ciclo en 89 vueltas y  en los mismos 144, dando origen  a multitud de simetrías especulares como veremos más adelante. 

Por último para la serie del  nº √3, se ha optado por la representación de los primeros 90 puntos como aparece en la F6. El formato utilizado no permite ver con precisión el desarrollo total de su ciclo. Sucede algo similar que con la representación del nº 2; en este caso,  más agudizado por la casi duplicación del nº de puntos necesarios para cerrar este ciclo. De los cuatro números, es con diferencia, el ciclo  más largo.

Con los mismos criterios ya descritos, se define el punto 0. Un giro de 263,5º y un crecimiento lineal de 1x(49/48) define el punto 1. Sobre este  nuevo eje, un nuevo giro de 263,5º y  la misma razón de crecimiento lineal ya establecido, define el punto 2 y así sucesivamente hasta completar 527 vueltas y se han definido 720 puntos en su recorrido. 

Las F1, F2, F3, F4, F5 y F6 exponen el escenario y la organización o pautado del conjunto de puntos necesarios para cerrar los correspondientes ciclos de estos cuatro números geométricos.

Al contemplar en una primera impresión, los escenarios de cada número geométrico, podemos comprobar cómo el nº plástico o nº ψ, genera una direccionalidad y en principio, un sentido levógiro en la organización angular de sus puntos, y en su representación, el ritmo lineal de crecimiento, 16/15, es mayor por la cortedad de su ciclo mientras que  la organización de los puntos de √2 , Φ  y √3, el ritmo lineal  es menor y se ha utilizado la misma razón lineal, 49/48, dada la mayor longitud de sus ciclos. 

En la representación del nº φ, tanto en su valor angular de 137,5º como 222,5º se produce un equilibrio en la direccionalidad de los sentidos levógiro y dextrógiro. Lo mismo sucede con la repre-sentación de los números √2 y √3 que mantienen  una ocupación más uniforme del espacio.

Sintetizando estos primeros pasos, podemos decir que para el estudio que vamos a desarrollar, es necesario:

– un patrón angular intrínseco a cada número geométrico y un patrón lineal que puede ser común a todos ellos.  Estos dos patrones iniciales comienzan el movimiento  angular desde ese punto de origen,  direccionando  un eje vertical cuya primera medida  es la  unidad del ritmo lineal; el ciclo se completa al recuperar mediante los sucesivos giros, esa primera dirección vertical y el espacio se ha  llenado de una miríada de puntos característicos de cada número geométrico.

Con ello, se ha  establecido el escenario o campo de juego, la escala comparativa  entre ellos y el tiempo o ciclo de cada número geométrico. 

Y comienza el juego… las formas o sistemas espirales que irán surgiendo corresponden a los ritmos establecidos  por la serie de Padovan para el nº ψ y las series de Fibonacci y Lucas para el nº φ. Los dos únicos números  en los que se exponen sus ciclos completos. Como ya hemos comentado, los escenarios de los números √2 y de √3 estarán acotados a los noventa primeros puntos.

Ya hemos desarrollado en los artículos: ”Anotaciones a  una geometría de la proporción y la armonía. Partes 1, 2, 3 y 4″ (4), que la vibración de una cuerda de longitud unidad con sus extremos nombrados como 1/1 y 2/1, introduce en el armónico octavo, el octógono al unir los extremos de la cuerda formando  una circunferencia y unir mediante líneas rectas los nodos consecutivos. Del mismo modo, la vibración de la misma cuerda en el armónico duodécimo introduce el dodecágono y en ambos casos, el vértice es el nodo nombrado y viceversa. 

Como se puede comprobar en la F7 y F8, al estar los extremos de la cuerda definidos por una relación de dos números enteros, todos los vértices de ambos polígonos han quedado calificados.

Así nos encontramos que los vértices de octógono nombran las notas Do (1/1), Re (9/8), Mi (5/4), Sol (3/2), Si (15/8) de la gama diatónica y los vértices del dodecágono completan el proceso intro-duciendo las notas Fa (4/3) y La (5/3)… F9

Y al igual que una línea o una cuerda permite la distribución de las proporciones musicales de una octava, podemos definir y desarrollar una octava como un patrón vibratorio angular. De esta manera las notas quedarían definidas por los siguientes ángulos:

DO =        0º

RE =       45º [(360ºx(9/8)=405º; 405º-360º=45º]

MI =       90º

FA =     120º

SOL =  180º

LA =     240º

SI =      315º [360ºx(15/8)=675º; 675º-360º=315º]

y por último la OCTAVA =360º. 

Este ritmo angular de la octava, desarrollaría un escenario de direcciones espaciales que naciendo de ese  mismo origen o centro común a los escenarios de los números geométricos colorearían y calificarían direcciones espaciales y al insertarse en esos ciclos numéricos  y cruzarse  con los puntos de cada escenario, los cualificarían con su vibración o frecuencia…  y al final, se oirían sonidos… 

Así cada escenario concreto de cada número geométrico quedaría cualificado por ese filtro vibratorio musical…

Todo lo que  expondremos y dibujemos sucede en el espacio pero lo representamos en el plano. Es el paso de las 3D a las 2D. Sucede lo mismo con las órbitas planetarias donde la elipse o el círculo es la representación en 2D de las auténticas espirales que realmente dibujan los planetas en sus recorridos alrededor del sol al igual que el sol lo hace alrededor del punto central de nuestra galaxia…

Es lo mismo  que sucede cuando en el plano quedan reflejados toda la miríada de puntos  del escenario espacial de cada número geométrico que  permite vislumbrar más fácilmente las simetrías implícitas de  sus recorridos. Y la primera simetría es ese eje vertical que hemos utilizado para fijar el ángulo 0º y la primera medida de la unidad.  A partir de su trazado, se organiza el giro sucesivo de la razón angular hasta volver al mismo eje de comienzo.  En el momento de su dibujo se organiza una «polaridad» izquierda-derecha en el tablero de juego. Revisaremos este concepto en los cuatro números geométricos y cómo del escenario de cada número surgen nuevos ritmos en principio inapreciables y desconocidos relacionados con los ritmos de la octava musical…

Es como si nos fuésemos encontrando en el proceso, los mismos criterios de organización y funcionamiento… y esto nos lleva a un último apunte.

Ya sabemos que la numeración es la unidad sumándose a sí misma hasta el infinito y así como hemos definido los «ciclos» de cada número geométrico, vamos a utilizar el «ciclo» de los nueve primeros números (gematria (6))  como ciclo de entornos numéricos más sencillos. La F11  expresa con claridad el entendimiento de esos nueve primeros números. La geometría del eneágono plantea esa «coincidencia». Así la serie de potencias de 2 en gematría reproduce la secuencia 1, 2, 4, 8, 7, 5, 1 y la división reproduce la serie 1, 5, 8, 7, 4, 2, 1.

Así, utilizaremos esta reducción numérica para establecer mediante «los nueve primeros números», los «valores» de los diferentes cuadrantes angulares en el estudio de las espirales de los cuatro números geométricos.

Como decíamos al comienzo,  establecemos un punto, definimos  dos patrones de crecimiento, uno angular (rotación) y otro lineal (expansión) y comienza el juego… 

Notas:

Las notas a pié de artículo  que hacen referencia a  otros artículos publicados están en la web: acordesarquitectonicos.com.

Los artículos citados corresponden a M.L.Lopez Sardá.

1.-Proporción:

Parte 1: Las Medias proporcionales.

Parte 2: Los inconmensurables.

Parte 3:La Octava Musical

Parte 4: Una posible octava de color.

2.- Dibujo de  la sucesión de Padovan.F12

3.- Se ha utilizado la razón 16/15= (4×4/3×5) para el nº ψ que representa el semitono de la escala diatónica. Así mismo, la razón 49/40= (7×7/6×8) para los restantes números geométricos. En todo caso, siempre una relación de tres números 3,4,5 y 6,7,8.

4.-Tema más desarrollado en: Parte 3 de Proporción y en: Anotaciones a otra geometría de la proporción y la armonía. Partes 1, 2, 3 y 4.