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Anotaciones a otra geometría de la proporción y la armonía. Parte 2

[…] El impresionante descubrimiento de Pitágoras fue que el tono musical depende de la longitud de una cuerda que vibra. Esto es, las diferencias cualitativas del sonido se podían traducir en diferencias cuantitativas. Una cualidad podía representarse por una cantidad y dos verbos, aparentemente opuestos como cuantificar y cualificar quedaron relacionados mediante el número. El Número vinculó Cualidad y Cantidad……

Pero han pasado unos 2500 años desde que Pitágoras comenzó haciendo vibrar una cuerda y hallando sus armónicos. Hoy a estos diferentes modelos de vibración de una cuerda se les llama ondas estacionarias. Esta distancia temporal ha permitido que la sensibilidad y el afinamiento del sentido del oído de los antiguos capaces de establecer los sonidos como relaciones sencillas de números enteros y que sentaron las bases de la música, ha sido por un lado corroborado, y por otro sustituido por el control científico de los armónicos definidos por el nº de vibraciones por unidad de tiempo.

Hoy el tema es más complejo 8. El desarrollo científico desde finales del XIX y principios del XX, dio el gran salto al considerar la materia desde el punto de vista ondulatorio y hoy el estudio de ondas forma parte de las disciplinas de física y matemáticas 9 y dentro de ésta última, del área denominada Análisis Armónico o Análisis de Fourier10 . Así por ejemplo, cuando la onda que se produce, varía sinusoidalmente con el tiempo, recibe el nombre de armónica o sinusoidal 11.

Desde el punto de vista físico una onda es una forma de propagación acompañada de una transmisión de energía en un medio material que no supone desplazamiento de materia. Y una onda estacionaria es la interferencia de dos movimientos ondulatorios armónicos de la misma longitud de onda; es decir, una interferencia entre una onda incidente que se mueve de izquierda a derecha y otra onda reflejada que se mueve de derecha a izquierda, ambas de la misma amplitud y longitud de onda.

Y esta onda transversal se caracteriza por su velocidad (m/seg), su amplitud A (distancia entre la máxima cresta y el máximo valle), su longitud de onda (distancia entre crestas o valles) y su frecuencia f (definido por el cociente entre su velocidad y su longitud de onda o nº de crestas que pasan por un punto definido en un segundo) medida en herzios, todas ellas afectadas por la propia densidad lineal de la cuerda.

Para nuestro estudio, el interés radica en su representación geométrica. Tomemos dos ejes de coordenadas donde el eje “y” define la amplitud A y el eje “x” la longitud de onda , porque la frecuencia, geométricamente, quedará definida por el nº de nodos intermedios. Conviene aclarar que la “forma de la onda” es la instantánea que congela las posiciones de las partículas en un momento dado. Fig.4

Figura 4DV_dibujos_c02c03c04 Model (1)

Para una cuerda, hay ciertas frecuencias que se llaman frecuencias de resonancia: la más baja es la frecuencia fundamental y las demás son múltiplos de ella. En nuestro caso, la frecuencia más baja en una cuerda de longitud L es la que corresponde a n=1 y corresponde a la máxima distancia entre nodos. Fig.5

DV_dibujos_c02c03c04 Model (1)Figura 5

Tomemos un medio elástico como una cuerda, definamos su modo de frecuencia y sus armónicos. Llamemos a los dos extremos fijos de la cuerda 1/1 y 2/1 y los nodos intermedios de vibración nula han quedado calificados. En definitiva, la división de una cuerda en dos, tres, cuatro, etc… partes iguales. En el segundo armónico surge el nodo intermedio 3/2 12, en el tercero, surgen 4/3 y 5/3 13, en el cuarto 5/4, 3/2 y 7/4 14, y así sucesivamente para el modo de vibración séxtuple, óctuple, etc. Fig.6

DV_dibujos_c02c03c04 Model (1)Figura 6

Lo interesante es que comienzan a aparecer una serie de relaciones sencillas de números enteros que traen a la memoria las relaciones básicas que los griegos utilizaron para definir su gama musical. De esta manera, si 1/1 define el Unísono y 2/1 define la Octava, el primer nodo del segundo armónico 3/2 define la Quinta o nota Sol. En el modo de vibración triple, el nodo intermedio 4/3 define la Cuarta o nota Fa y la relación 5/3 define la Sexta Mayor o nota La. En el modo de vibración cuádruple tenemos el nodo 5/4 que define la Tercera Mayor o nota Mi, el 3/2 ya mencionado y la relación 7/4 o aproximación por exceso a raiz de 3. En el modo de vibración quíntuple, surge la relación 6/5 o Tercera menor, la relación 7/5 o aproximación a raiz de 2, la relación 8/5 o Sexta menor pero también, relación de dos números consecutivos de la serie Fibonacci, y por último, la relación 9/5 …

Es decir, por el sólo hecho de “nombrar” los extremos de la cuerda, los nodos intermedios han quedado calificados y el resultado es una serie de relaciones sencillas de números enteros que hacen referencia a la octava musical. Fig.7

D:Carpeta compartidaTESISFINAL250111TESIS_ACADDV_dibujos_c0Figura 7

Si tomamos esta longitud de la cuerda y sus distintos modos de vibración armónica ya definidos y unimos sus extremos, podemos convertirla en la longitud de una circunferencia en cada caso, pautada o marcada por los nodos intermedios. Lógicamente, si unimos los puntos de vibración nula o nodos, obtenemos la serie de polígonos elementales donde cada vértice del polígono está definido por una relación de dos números enteros que corresponde al nodo de la cuerda. Fig.8

DV_dibujos_c02c03c04 Model (1)Figura 8

En el segundo armónico, al unir los nodos, aparece el diámetro de la circunferencia. Con este armónico, tenemos el círculo y el diámetro y con ello entramos en el sistema geométrico de definir las proporciones o medias más usuales: la aritmética, la geométrica y la armónica.

El tercer armónico genera el triángulo equilátero con sus vértices “calificados”. El cuarto armónico genera el cuadrado girado 45º. En el modo de vibración quíntuple, el pentágono, en el modo séxtuple, el hexágono y así sucesivamente.

En nuestra cultura, se considera que música y geometría son disciplinas independientes pero esta idea es equívoca puesto que con esta sencilla operación, la Geometría ha quedado vinculada con las proporciones musicales, es decir, con la Armonía. O lo que es lo mismo, el objeto geométrico, el polígono, ha quedado vinculado a la onda.

Platón, en el diálogo Timeo, describe una cosmología desde los principios fundamentales hasta la creación de los animales. Cuando pasa a describir la formación y disposición de los cuerpos elementales: fuego, agua, aire y tierra, utiliza un lenguaje geométrico que no es usual. Tres tipos de triángulos son el origen de estos cuerpos: escuadra, cartabón y triángulo equilátero 15.

Sin discutirle la belleza de esta primera triada de triángulos, si podemos examinar algunos triángulos más que nos ofrecen los polígonos elementales.16  Así, en el cuarto armónico, el cuadrado resultante de unir sus nodos está compuesto de dos escuadras o primer triángulo platónico.

DV_dibujos_c02c03c04 Model (1)Figura 9

En el quinto armónico, el pentágono ofrece dos triángulos isósceles que generan la misma construcción geométrica 17. Fig.10

DV_dibujos_c02c03c04 Model (1)Figura 10

En el sexto armónico, el hexágono contiene dos de los triángulos de la triada platónica, el cartabón y el equilátero que generan dos construcciones diferentes. Fig.11

DV_dibujos_c02c03c04 Model (1)Figura 11

En el octavo armónico, el octógono ofrece tres triángulos. Además de la escuadra, el isósceles de 45º/67.5º/67.5º y la escuadra 22.5º/67.5º/90º18 que generan tres diferentes construcciones geométricas. Fig.12

DV_dibujos_c02c03c04 Model (1)Figura 12

Por último, el duodécimo armónico o dodecágono, ofrece cinco triángulos que de nuevo, generan cinco construcciones geométricas diferentes. Contiene además de la triada platónica compuesta de escuadra, cartabón y equilátero, un isósceles de 30º/75º/75º y un escaleno de 45º/60º/75º 19. Fig.13

DV_dibujos_c02c03c04 Model (1)Figura 13

Pero no olvidemos que cada triángulo forma parte de alguno de los polígonos regulares y que cada polígono está inscrito en la longitud de una circunferencia que es la longitud de la cuerda en su modo de oscilación, pautada por los nodos calificados… Esto permite afirmar la correspondencia entre triángulos y acordes musicales.

En el tercer armónico, el equilátero surgido al unir por líneas rectas los nodos intermedios tiene sus vértices en 1/1, 4/3 y 5/3. El Acorde mayor de Fa o Subdominante está definido por las notas Do(1/1), Fa(4/3), La(5/3), luego puede plantearse que el triángulo equilátero, geométricamente, defina este acorde musical. Fig.14

DV_dibujos_c02c03c04 Model (1)Figura 14

En el cuarto armónico, la longitud de la circunferencia está pautada por los nodos 1/1, 5/4, 3/2 y 7/4. El Acorde mayor de Do o Tónica está definido por las notas Do (1/1), Mi (5/4), Sol (3/2). En el Timeo, Platón define este isósceles como el primero: “origen que atribuimos al fuego y a los otros tres cuerpos obedeciendo a la necesidad”20 . Luego tiene cierta verosimilitud que, geométricamente, la escuadra defina este acorde musical. Fig.15

DV_dibujos_c02c03c04 Model (1)Figura 15

Es decir, de los tres acordes básicos de la música, Tónica, Dominante y Subdominante, dos de ellos: la Subdominante y  la Tónica corresponden a  dos de los triángulos que Platón en el Timeo considera esenciales para la creación de los elementos del Mundo.

Para hallar el tercer, Acorde mayor de Sol o Dominante, hay que llegar al octavo armónico u octógono. El isósceles de 45º/67.5º/67.5º con los vertices en las posiciones 9/8, 3/2 y 15/8, correspondientes en notación musical a las notas Re, Sol y Si de la escala diatónica, puede definer este Acorde mayor básico. Fig.16

DV_dibujos_c02c03c04 Model (1)Figura 16

Pero este mismo triángulo, con los vértices en las posiciones 5/4, 13/8 y 15/8 puede corresponder al Acorde mayor de Mi :Mi (5/4), Sol# (13/8), Si (15/8) 21. Fig.17

DV_dibujos_c02c03c04 Model (1)Figura 17

Para el estudio de otros Acordes mayores, hay que examinar el armónico duodécimo o dodecágono. La posición de los vertices del triángulo isósceles de 30/75º/75º, en los nodos 13/12, 5/4 y 5/3, puede corresponder al Acorde mayor de La:Do# (13/12), Mi (5/4), La (5/3) 22. Fig.18

DV_dibujos_c02c03c04 Model (1)Figura 18

Puede ser interesante examinar el tercer triángulo platónico: el cartabón. En el mismo dodecágono, o en el hexágono, este triángulo con los vertices en las posiciones 1/1, 7/6 y 3/2 puede corresponder al Acorde menor de Do: Do (1/1), Mi bemol (7/6) 23, Sol (3/2). Tiene sentido que el Acorde mayor de Do corresponda a la escuadra y su Acorde menor, al cartabón. Fig.19

D:Carpeta compartidaEDICION LIBRO TESISARCHIVOS CAD DIBUJO LIFigura 19

Esto es, el examen de las correspondencias entre triángulos constitutivos de los polígonos y los acordes musicales de la escala diatónica, permite afirmar que:

  • – el octógono mediante determinadas posiciones de la escuadra y del isósceles de 45º presenta correspondencias con los acordes mayores de las notas Do, Mi y Sol.
  • – el dodecágono mediante determinadas posiciones de la escuadra, del equilátero y del isósceles de 30º presenta correspondencias con los acordes mayores de las notas Do, Fa y La.

Estas comprobaciones permite que sigamos el discurso y podamos afirmar que: los triángulos representan en geometría lo que los acordes en música y por ello, la Geometría ha quedado vinculada a la Música mediante la Armonía.

(continua Parte 3)

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