A VUELTAS CON LOS POLIEDROS

Aritmética y Geometría de los Poliedros Regulares

1.- Estamos acostumbrados a ver o a considerar los poliedros regulares, también llamados “sólidos platónicos”, como objetos. Estos sólidos quedan caracterizados por los tres elementos que los configuran, los vértices, las aristas y las caras como definiciones geométricas del punto, la línea y la superficie o plano. Objetos que tomamos en las manos, los vamos volteando y nos fijamos en las características y relaciones básicas entre los tres elementos mencionados.

Así Euler estableció que la suma del número de vértices y de caras a la que restamos el número de aristas siempre sería 2. (V+C)-A=2. O dicho de otra manera, en los poliedros regulares hay igualdad entre la suma de vértices y caras y la de aristas más 2. V+C=A+2. (F1)

En el siglo XX, Buckminster Fuller introdujo otro nivel de entendimiento de los poliedros. (1) 

Tomó conciencia de que los poliedros regulares no eran sólidos o formas cerradas inmóviles, en realidad eran un modelo geométrico de relaciones entre vértices, aristas y caras. (2) 

“Esta forma nueva de ver y comprender le condujo a los orígenes de ellos: percibió que no éramos totalmente conscientes de lo que estos poliedros significaban y de sus implicaciones sobre el espacio mismo Y así comenzó afirmando:

– no existe el punto adimensional, existe un evento de energía.

– no existe la línea, son trayectorias onduladas o fragmentadas.

 -no existe el plano continuo, existe una malla de eventos energéticos inter-relacionados por vectores diminutos porque existen fuerzas que tiran y empujan y que pueden modelarse como vectores con longitud y ángulo.

– no existen los sólidos, la materia consiste exclusivamente de energía. Las cosas son en realidad eventos, disposiciones transitorias de movimiento atómico vibrando frenéticamente.” 

Estas primeras afirmaciones son principios a los que llamó “generalizables”, fundamento de la continua investigación de Fuller a lo largo de su vida sobre el sistema de coordenadas de la naturaleza. Investigación recogida en el libro “Synergetics: Explorations in the Geometry of Thinking”.

Así, definió los poliedros como “articulaciones geométricas de relaciones energéticas” entre las fuerzas físicas y las limitaciones espaciales de este nuestro espacio que vivimos. Planteado como el “alfabeto estructural de la naturaleza”.

Buckminster Fuller expuso con claridad estas limitaciones básicas del espacio ya conocidas desde la antigüedad. 

Así para poder construir una estructura espacial cerrada con el mínimo polígono regular como cara del poliedro, el triángulo equilátero, sólo se podía hacer con 3 a 5 triángulos por vértice; con 3 se formaba el tetraedro, con 4 el octaedro y con 5 por vértice el icosaedro pues 6 equiláteros por vértice dan 360º y forman un plano.

Si tomamos el siguiente polígono regular como cara del poliedro, sólo 3 cuadrados pueden organizarse por vértice y esto lleva al cubo o hexaedro. Por último, el siguiente polígono regular, el pentágono admite sólo 5 por vértice y construye el llamado dodecaedro. Y a estas tres condiciones de partida las llamó las 3 primeras limitaciones del espacio en que vivimos.

Este uso de formas planas regulares nos permite reconocer las diferencias entre el plano y el espacio porque si tomamos un círculo y lo dividimos en partes o sectores iguales podemos deducir que la división de un círculo permite infinitos polígonos regulares… pero sólo 5 poliedros regulares cada uno de aristas y ángulos iguales contenidos en la esfera que los circunscribe, pueden existir en nuestro espacio. 

El estudio de las caras de estos poliedros compuestos de equiláteros, cuadrados y pentágonos forma parte de la cultura general geométrica y matemática desde la antigüedad.

Así sabemos que el equilátero contiene 8 cartabones de 90º/60º/30º o escuadra 1/√3/2; el cuadrado contiene 8 escuadras de 90º/45º/45º o la escuadra 1/1/√2 y el pentágono contiene 10 escuadras de 90º/54º/36º… Pero si observamos un poco más este pentágono veremos en el primer dibujo, que si el radio del círculo que lo circunscribe vale la unidad, la altura de la escuadra vale Φ/2. Y en el segundo, en el isósceles central de 36º/72º/72º, si a la arista le damos el valor unidad, los otros lados toman el valor de Φ o Sección Aurea. Esto es, en estas tres primeras escuadras han aparecido los números √2, √3 y Φ  lo que implica éste último, la existencia del tercer nº geométrico √5. F2. Volveremos sobre ello.

2.- Para construir estos cinco modelos de poliedros partimos del plano. Los ángulos centrales (ángulo entre dos radios adyacentes) pueden dibujarse mediante sencillas relaciones geométricas con escuadra y compás y/o sencillas proporciones numéricas y el criterio de comienzo para hallar ese ángulo interno de cada poliedro, es el mismo para todos mediante escuadras basadas en los tres números geométricos. Así comenzamos haciendo un círculo de radio unidad y con el mismo centro, lo duplicamos y lo triplicamos. Un triple círculo es nuestro comienzo.

Esto es, trazamos tres círculos concéntricos de radios 1, 2 y 3 unidades y los dos ejes ortogonales. Llamamos O al centro y los tres radios como OA=1, OB=2 y OC=3. F3

Comenzamos con el tetraedro: sobre el dibujo anterior, tracemos un nuevo círculo desde el punto B y radio OB=2 formando la vesica piscis. Trazamos la línea vertical por el punto A hasta cortar al círculo de radio OC en el punto D.  Unimos mediante línea recta este punto con el centro O. El ángulo DOP define el ángulo central o interno del Tetraedro. El triángulo rectángulo utilizado tiene por cateto OA=1 e hipotenusa OD=3, luego la altura, aplicando el teorema de Pitágoras, vale 2√2. Esto es, la escuadra para definir el ángulo central β= 109,47º, es 1/2√2/3. (3) F4

Seguimos con el hexaedro o cubo: el trazado anterior es el mismo porque el ángulo central del cubo DOC es el complementario del tetraedro; en este caso, α=70,53º,  y la escuadra  1/2√2/3 la misma que la del tetraedro. F5

A continuación, el octaedro: en este caso, añadimos otro círculo de radio=2 con su centro simétrico al punto A en A₁   para hallar la “vesica piscis” central y continuamos la línea hasta cortar al círculo de radio OC=3 en E. El ángulo EOC define el ángulo del octaedro α= 90º. Y en este caso, la escuadra formada por los catetos OC=OE=3, definen la hipotenusa CE=3√2 de la escuadra de construcción (1/1/√2). F6

Para el icosaedro, trazamos la vesica piscis ya utilizada en los anteriores dibujos del tetraedro y del cubo, prolongamos la línea vertical que pasa por A hasta cortar el círculo de radio OB y centro O en F, y continuamos la línea hasta cortar en el punto G al círculo de centro A y radio AC=2. El ángulo KOC define el ángulo central del icosaedro  α=63.43º. (4). La escuadra utilizada es OAG=1/2/√5, de catetos OA=1y AG=2 e hipotenusa OG=√5. F7

Por último, el dodecaedro es el único poliedro que requiere una segunda escuadra para hallar su ángulo interno. Partimos de la escuadra 1/2/√5 y una vez hallado el punto G, seguimos trazando un segundo círculo con centro en O y radio OG que corta al círculo de radio CA=2 y centro C en H. Trazamos la línea OH prolongándola hasta cortar al círculo central de radio OC en J. El ángulo JOC es el ángulo central α del dodecaedro=41.81º. (5). La segunda escuadra corresponde a OHC=2/√5/3, de catetos CH=2 y OH=√5 e hipotenusa OC=3. F8                                                                               

3.- Mediante estas sencillas construcciones geométricas en el plano, hemos hallado los ángulos centrales de los cinco poliedros. Queda sólo montar, añadiendo desde el centro el nº de veces necesario cada ángulo concreto sobre ese círculo de radio OC=3, para desarrollar la forma plana característica de cada uno. Paso previo para hallar el “átomo” básico de cada poliedro. F9

Así, para el tetraedro, repetimos 3 veces el mismo arco de circunferencia correspondiente a su ángulo central β. Así, restando el ángulo de 31.59º( 360º-(3×109.47º)=31.59º), obtenemos la forma geométrica para hallar el primer “átomo” del  tetraedro. F10 Para los siguientes poliedros, el proceso es el mismo.

– cubo o hexaedro, repetimos cuatro veces el arco de circunferencia correspondiente a su ángulo central α. Así, restando el ángulo de 77.88º ( 360º-(4×70.53º)=77.88º), obtenemos la forma geométrica necesaria para el primer “átomo” del cubo. F11

– octaedro, repetimos 3 veces el mismo arco de circunferencia correspondiente a su ángulo central α=90º. Así, con la resta de 90º de los 360º del plano, obtenemos su forma geométrica planar. F12

– dodecaedro, repetimos 5 veces el mismo arco de circunferencia correspondiente a su ángulo central α=41.81º. Así, restamos un ángulo de 150,95º de los 360º.F13

Por último, para el icosaedro, repetimos tres veces su característico ángulo central, con un ángulo de resto de 169.81º para   los 360º. F14.

Mediante la unión de las aristas indicadas en cada dibujo, tenemos las cinco formas planas cuyo montaje construye los cinco “átomos” piramidales característicos de estos poliedros. Aquí dejamos el plano y pasamos all espacio.

4.- Hemos mantenido el valor de 3 unidades para el radio de la esfera que contiene a los cinco poliedros. Es un criterio evidente mantener esta medida puesto que es el círculo que ha construido en el plano los triángulos básicos de cada uno de ellos y lo que interesa destacar es la “forma” resultante debido al ángulo de comienzo. 

Ätomos básicos:

– Para el tetraedro, formamos 4 pirámides uniéndolas por los vértices de su ángulo α=109.47º. Estas pirámides tienen tres caras triangulares isósceles de lados 3/3/2√6 y la base equilátera de lado 2√6. F15. Imagen1 y 2.

– Para el octaedro, formamos 8 pirámides uniéndolas por los vértices de su ángulo α=90º. Estas pirámides tienen 3 caras triangulares o escuadras de lados 3/3/3√2 siendo la base un cuadrado de lado 3√2 (o lo que es lo mismo si tomamos el  radio o hipotenusa como valor unidad,  la escuadra es 1/1/√2). F16

– Para el cubo o hexaedro se forman 6 pirámides cuyas caras son isósceles que tienen por lado los valores 3/3/2√3 y las bases son cuadrados de lados 2√3. Ya hemos comentado que el ángulo central α= 70,53º de este poliedro es complementario del ángulo del tetraedro. F17

Cada poliedro de los tres examinados se construye con 4, 8 y 6 pirámides específicas; formas piramidales, lógicamente unidas por su ángulo central, que representan cada una, en su idiosincrasia, el átomo básico espacial de construcción con cuyo acoplamiento, se genera la forma total de cada poliedro.

– El icosaedro, cuyo ángulo central es de 63.43º, se construye uniendo 20 pirámides por su vértice común. Las 20 caras triangulares tienen por lados 3/3/(6/H) siendo H=√(Φ2+1) (la hipotenusa de la escuadra de la Forma 1/Φ/H) (6). Esto da una base triangular equilátera de lado 6/H. F18. 

– Para el dodecaedro, cuyo ángulo central vale 41.81º, necesitamos unir 12 pirámides por este ángulo común; las 12 caras  isósceles tienen por lado los valores de 3/3/(2√3/Φ) y  la base pentagonal regular tiene por lado el valor  2√3/Φ. F19.

Todos los poliedros están inscritos en una misma esfera con el mismo radio y el mismo centro. Centro que “irradia” rayos o, si queremos llamar, vectores; un crecimiento radial homogéneo desde un mismo punto pero con diferente ángulo para cada poliedro, donde lo importante no es el “sólido” sino el ángulo radial de comienzo. Ángulo que lleva contenida la forma de cada poliedro.

Esto es, al utilizar la misma esfera, el radio de ésta es común a los cinco poliedros lo que significa que, en cada cara triangular del “átomo” de cada poliedro, hay la misma medida en dos de los lados de los isósceles pero diferente ángulo. Y ésta diferenciación en el ángulo, implica diferente valor de la arista de la base de cada uno de ellos. Así, podemos definir las escuadras básicas de las caras de los “átomos” de cada poliedr. F20

– El tetraedro tiene la cara formada por dos escuadras cuya altura es √3, su base √6 y la hipotenusa 3 (o radio de la esfera). La base es un triángulo equilátero de lado 2√6.

– Al tener el ángulo complementario, la cara del cubo está formada por estas mismas escuadras pero en este caso, la altura es √6, y su base √3, es decir, intercambian los catetos. La base es un cuadrado de lado 2√3.

– El octaedro al tener el ángulo central de 90º no plantea dudas de que las escuadras 1/1/√2 es la que constituye la cara de este poliedro o siguiendo la misma notación 3/(√3/2)/(√3/2). Su base es un equilátero de lado 3√2. 

– El dodecaedro tiene la cara formada por dos escuadras por base √3/Φ, su altura es Φ√3 e hipotenusa 3 y su base es un pentágono de lado 2√3/Φ.

– El icosaedro tiene la cara formada por dos escuadras de base 3/H, altura 3Φ/H e hipotenusa 3. Su base es un equilátero de lado 6/H. (7)                                         

5.- Otra forma de estudiarlos es en función de la igualdad de la arista tomando el valor unidad para los cinco poliedros. Esto conlleva diferentes tamaños de las esferas que los circunscriben y tal vez es la forma habitual de verlos como sólidos o a lo más como Fuller plantea, como una estructura espacial de vectores definidos por una “frecuencia” (porque toda dimensión es en el tiempo) y un ángulo (la forma del poliedro.) (8) 

Para el tetraedro, si la arista A=1, el radio de la esfera que lo contiene es R=√3/2√2.

Para el cubo, si A=1, el radio de la esfera que lo contiene es R=√3/2.

Para el octaedro, si la arista A=1, el radio de la esfera es R=√2/2.

O más sencillo:

– el tetraedro está contenido en una esfera cuyo diámetro es √3/√2

– el octaedro está contenido en una esfera cuyo diámetro es √2

– el hexaedro o cubo está contenido en una esfera cuyo diámetro es √3

Esto es, nos encontramos que los números geométricos √2 y √3 están presentes tanto en los “átomos piramidales” como en los diámetros de las esferas que contienen a los tres primeros poliedros. Observamos que, siendo el cubo y el octaedro poliedros duales, los valores de los diámetros de las esferas que los contienen plantean la relación de √2 y √3 y que el diámetro de la esfera del tetraedro es justo la relación entre estos dos términos.

– para el icosaedro, si la arista A=1, el radio de la esfera que lo contiene es R=H/2.

– para el dodecaedro, si la arista A=1, el radio de la esfera que lo contiene es R=3Φ/2√3(=Φ√3/2).

O más sencillo: 

– la esfera que contiene al icosaedro tiene un diámetro =H (=√(Φ²+1)

– la esfera que contiene el dodecaedro tiene un diámetro = Φ√3 (9))

Podemos ver en ambos poliedros, la existencia de la Sección Aurea con los valores H =√(Φ²+1) y Φ. Recordemos que estos poliedros son duales (intercambian el mismo nº de caras y de vértices manteniendo el mismo nº de aristas. (10)

Este sistema de relacionar los cinco poliedros a la arista común de valor unidad, muestra los diferentes tamaños de ellos y su relación con la esfera que los circunscribe, pero de alguna manera, vela el proceso de creación puesto que la arista “está fuera”, es la línea de conexión de los vértices en la superficie de la esfera.

El mismo centro y el mismo diámetro para la esfera y un ángulo de salida específico que conforma los radios con la superficie de la esfera, define las diferentes aristas o vectores concretos para cada poliedro.  Y esto, insistimos, permite entender y aclarar que en el ángulo de comienzo está ya contenida la forma que tomará cada poliedro. 

Por otro lado, el criterio que estamos utilizando permite definir ese “átomo” básico constitutivo de cada uno de los poliedros, todos ellos referidos a una misma medida de expansión o crecimiento. F21

De los tres elementos mencionados al principio del escrito que caracterizan a los poliedros, 1) vértice=punto=a⁰, 2) arista=línea=a¹ y 3) cara=superficie=a², añadimos este cuarto elemento, el átomo=pirámide=a³.  

“Átomos” o pequeñas unidades elementales con cuerpo=volumen casi como un juego de construcción espacial, siempre con el centro como origen, para niños aprendiendo. Partículas elementales en las que hemos llegado a definir las escuadras de construcción de sus caras pero no olvidemos lo importante, su proceso de creación mediante un punto adimensional y dos rayos definiendo 6) un ángulo de comienzo. 

Los dibujos de Leonardo da Vinci para el libro de “la Divina Proporción” de Luca Pacioli ilustran esas aproximaciones hacia ese espacio interior delimitado por la estructura de puntos y líneas contenidas en la superficie exterior de la esfera que los circunscribe. Las superficies de las caras se han convertido en ventanas para vislumbrar ese recinto espacial interior donde permanece invisible el punto de origen de la esfera y de cada poliedro. F22

Desde dentro, desde su centro invisible, veríamos un espacio vacío delimitado por una malla de puntos y líneas que faceta toda la superficie esférica formada de equiláteros, cuadrados, pentágonos. El límite o la dimensión del conjunto es la primera medida (radio de la esfera) como distancia a cada vértice, y el mismo ángulo de salida desde el centro define cada vértice de cada poliedro y por ello, la forma que tomará cada uno de ellos constatando lo que B.Fuller planteaba:  cada poliedro está definido por una frecuencia (dimensión en el tiempo) y un ángulo central (que da la forma al poliedro). 

6.- Amy C. Edmonson (11) plantea esa comparación entre los 5 poliedros partiendo de una arista común de valor unidad y la tabla que a continuación exponemos del libro, explicita lo que estamos diciendo. Podemos comprobar que los valores de Fuller que presenta, son los mismos que hemos hallado por el sistema geométrico desarrollado y esos valores numéricos decimales corresponden con los números geométricos mencionados. (12) F23

¿Que estos elementos esenciales de la Geometría se correspondan con los primeros números esenciales e inconmensurables de la Aritmética no está expresando esa unidad subyacente del conocimiento? (13). 

¿No llama la atención que el diámetro de la esfera que circunscribe al tetraedro, para la arista de valor unidad, resulte ser √3/√2? Que, para el octaedro, éste sea  √2 y que para el cubo, en las mismas condiciones, el diámetro tome el valor de √3? 

Igualmente con respecto a los otros dos poliedros, ¿no llama la atención que para la   arista de valor unidad, el diámetro de la esfera, que  circunscribe al icosaedro, sea H=√(Φ²+1)? Y en las mismas condiciones para el dodecaedro, el diámetro de la esfera sea Φ√3?.

Observemos estos valores hallados. Si los pasamos a cantidades decimales

– en el tetraedro √3/√2= 1.225

– en el octaedro √2= 1.414

– en el hexaedro √3= 1.732

– en el icosaedro H=√(Φ²+1) =1.902

– en el dodecaedro Φ√3= 2.802

Los valores indican que, la esfera necesaria para contener cada poliedro, va creciendo.  Esto es, entre 1 y 2 se mantienen los valores de los cuatro primeros poliedros y viene a la memoria el simbolismo asociado con los cuatro elementos; así, en el orden escrito de los poliedros, comienza con el fuego, luego el aire, luego la tierra y el último el agua cuyo símbolo está asociado al icosaedro. 

El dodecaedro se distingue, funciona en el siguiente nivel del 2 al 3 y aunque Platón no expresa explícitamente que el símbolo del dodecaedro sea el elemento éter, posteriormente Luca Pacioli sí identifica este poliedro con la quintaesencia o éter o cosmos de los neoplatónicos. Y no sólo eso, la relación entre la esfera y este poliedro participa de √3 y de Φ…

No resulta atractiva esa familiaridad y relación tan directa, entre la aritmética y la geometría, entre  los números geométricos y los poliedros regulares?

Estas preguntas nos conducen a sopesar con más detenimiento estos conocidos números…

7.- Al comienzo del artículo, comentábamos que en el estudio de las caras de  los poliedros regulares aparecen los números geométricos √2, √3 y √5… Al pasar al espacio y estudiar las relaciones entre el diámetro de la esfera y la arista de valor unidad para los cinco poliedros, aparecen de nuevo, en este caso, la √5 como partícipe de la serie Φ y de las llamadas escuadras de la Forma ya mencionadas. 

Vamos a recordar y ver otros aspectos de estos conocidos números geométricos.

R. Lawlor en el libro “Geometría Sagrada” (14) comienza analizando el propio concepto de raíz:

“Cuando hablamos de raíces de cuadrados y raíces de cubos estamos utilizando una designación muy antigua que asocia esta función matemática con la raíz vegetal. Tanto la raíz de una planta como la raíz matemática son causativas: la primera dentro de la tierra y la segunda dentro del cuadrado. El crecimiento visible de la planta, su proliferación hacia la especificidad, depende de la raíz para su estabilidad y su nutrición. La raíz de la planta alimenta porque es capaz de romper (dividir) los densos componentes minerales fijos del suelo en compuestos que la planta puede transformar en su propio tejido. En el sentido vital, la raíz geométrica es una expresión arquetípica de la función asimilativa, generadora y transformadora que es la raíz. Como la raíz vegetal, la raíz de 2 contiene el poder de la naturaleza que destruye para progresar (divide el cuadrado inicial) y también contiene el poder que instantáneamente transforma el 1 en 2.”

Más adelante sigue insistiendo en ese carácter generador y transformador implícito en la √2:

“La raíz de 2 es la función geométrica que representa la metáfora universal de la raíz y la raíz representa el principio de transformación. Este momento de transformación está presente en todo instante, en las raíces que transforman el mineral en vegetal, en las hojas que transforman la luz del sol en soporte del tejido vivo, en la roca y la piedra erosionadas y convertidas en gases moleculares y líquidos, el líquido convirtiéndose en gas, el gas en materia sólida […] (15)

La F24 desarrolla geométricamente el proceso de crecimiento de √2: Partimos de un cuadrado de lado 1, trazamos la diagonal √2 y ésta se convierte en el lado √2 de un nuevo cuadrado girado 45º; trazamos la diagonal del nuevo cuadrado y ésta se convierte en el lado 2 de un nuevo cuadrado, trazamos su diagonal, √8=2√2 y este valor es el lado de un nuevo cuadrado de lado 4 y así sucesivamente. Se produce la serie 1/√2/2/2√2/4… de razón √2.

Como describe R. Lawlor: 

“el simple acto de trazar la diagonal ha puesto en juego al 2” 

y subraya: 

“no porque el cuadrado haya sido dividido en dos sino porque aparece el cuadrado 2 ya que la diagonal del cuadrado 1(raíz de 2) es el lado del cuadrado 2 y el cuadrado 2 es exactamente el doble en superficie del cuadrado 1”

Así define las dos “paradojas” que en el proceso se han producido; la primera es la coincidencia de las funciones raíz y diagonal en el dibujo geométrico de la √2, esto es, la misma unidad lineal es a la vez, raíz y diagonal, lo que llama la paradoja de la igualdad y la diferencia.

La segunda paradoja es ese concepto que ha surgido con las palabras: “la mitad (el cuadrado partido por la diagonal) produce el doble como en la generación musical y en el misterio del crecimiento biológico por división celular”

La √3, Lawlor lo desarrolla distinguiendo entre √3 y la vesica piscis. 

Comienza con dos dibujos muy conocidos de las relaciones entre √2 y √3, distinguiendo desde un punto de vista estrictamente geométrico, que mientras la √2 divide la superficie del cuadrado, la √3 divide el volumen-forma del cubo.

 “Así, como la división de la Unidad simbolizada en las dos dimensiones por el cuadrado, reposa en la función √2, la división de la Unidad en las tres dimensiones simbolizada por el cubo, reposa en la √3”. F25

puesto que “la formación de todo volumen requiere estructuralmente la triangulación ya que la trinidad es la base creativa de toda forma. El cubo o hexaedro es el símbolo más elemental del mundo manifiesto formal”.  

En la F26, se plantea el otro aspecto de √3 como vesica piscis; como diagrama central de la geometría de la época medieval, y como distancia o medida entre dos círculos entrelazados del mismo radio.  Proceso de crecimiento entre las vesica piscis de los círculos de radios 1, 2 y 3 unidades donde la relación entre los ejes mayor y menor de la distintas vesicas plantean un crecimiento sucesivo basado en la progresión geométrica 1/√3/3/3√3…de razón √3

Y paso a paso, partiendo de cinco círculos entrelazados, llegamos a un dibujo de R. Lawlor, también muy conocido, sobre la generación de los polígonos regulares. F27

Esto es, una sucesión de los polígonos regulares surgiendo del entrelazamiento de los círculos de radio unidad, define los puntos A y B. La línea AB, de valor unidad, se convierte en el lado de todos los polígonos regulares hallados, surgiendo el primero, el triángulo equilátero, de la vesica piscis. Utilizando los vértices del equilátero como centros de nuevos círculos, obtenemos el cuadrado y sucesivamente el juego de círculos y cruces de líneas va definiendo los nuevos polígonos: pentágono, hexágono, octógono, decágono y dodecágono… confirmando que “la √3 contenida en la vesica piscis, es el poder formativo que da origen al “mundo” poligonal” como plantea Lawlor.

Y qué decir de la √5?  Ya conocemos el doble cuadrado cuya diagonal genera la √5 y que abre el camino a las relaciones de la Divina Proporción o nº Phi insistiendo en el concepto de proporción o relación geométrica.

Lawlor la califica como “la única dualidad creativa dentro de la unidad”. (14)

Se refiere a que si dividimos la unidad en dos partes iguales no hay diferencia; es necesaria la división asimétrica para crear una dirección de progreso partiendo de la unidad y qué mejor división asimétrica en que la relación del segmento menor es al mayor como el mayor es a la suma de los dos…

Así, la serie

…1/Φ³, 1/Φ², 1/Φ,  1 , Φ, Φ², Φ³ …

es la única proporción en que los términos son un modelo de evolución que   permite crecer y decrecer a partir de la Unidad, origen de todo el proceso. (1/Φ²+1/Φ=1; 1/Φ+ 1= Φ).

Insiste sobre ello diciendo:

 ”la división aurea es la única proporción continua que produce una progresión en que los términos representan el universo externo (Φ³, Φ²…) son un reflejo exacto, continuo y proporcional de la progresión interna (1/Φ³, 1/Φ² )” y donde el eje está representado por el 1.

Pero este crecimiento y decrecimiento a partir de la unidad no es igual con la serie de √2: geométricamente comienza con la unidad 1, √2, 2, 2√2, 4… donde todo el desarrollo es hacia “afuera” del cuadrado original.

Así, llega R. Lawlor a dar a la √5 el carácter de símbolo del proceso re-generativo: 

“porque genera una serie de símbolos que fueron utilizados por los filósofos platónicos como soporte o base de un ideal divino o amor universal […] porque la √5 atraviesa dos mundos indicados por los cuadrados superior e inferior, el mundo del espíritu y el mundo del cuerpo”, mientras que “la proporción √2 es estrictamente un poder procreador que funciona generativamente en el plano externo” (el subrayado es de la autora) 

En la F28, el dibujo de la izquierda, los dos círculos entrelazados del mismo radio contienen estos tres primeros números geométricos y, a la derecha, el juego del cuadrado y del círculo representa las escuadras 1/1/√2, 1/√2/√3 y 1/2/√5, características de estos tres números.

Y en la F29, está representada otra construcción de  √5 partiendo de nuevo, del doble cuadrado vertical y dos maneras de hallar la construcción del pentágono regular. En el primer caso mediante dos círculos entrelazados y la vesica piscis, se define el radio que, con centro en el eje vertical, traza la circunferencia que define así los tres primeros puntos del pentágono regular. En el segundo caso, mediante el doble cuadrado vertical, se sigue luego el mismo proceso.

8.- Y llegados a este punto, surge una intuición importante. R. Lawlor plantea la idea de que las progresiones numéricas, las series, en este caso, de √2,√3 y Φ, pueden considerarse como la representación de sistemas vibratorios ya que “una cuerda que vibra también se desplaza por encima y por debajo de un nodo abstracto o punto inmóvil inexpresable”. No olvidemos que un punto es una vibración y, por tanto, un aliento, un sonido, una palabra…

Y no sólo eso…

La idea de un proceso de transformación unido al concepto de raíz, de salto cualitativo de un estado a otro, trae a la memoria las tres operaciones básicas y duales de la Aritmética puesto que implican sus opuestos: suma-resta, multiplicación-división y potencia-raíz.

“Donde hay multiplicación, debe haber división y viceversa; donde hay suma deba haber resta y viceversa”.

Podemos considerarlas en principio como tres velocidades de “crecimiento” o tres modelos polarizados de experimentación. Así, la suma y la resta parecen ser el proceso natural unido al contar indicando un aumento (abundancia) o disminución (carencia) de lo mismo: árboles, manzanas, etc en definitiva objetos o números. Así, 3+3=6 y 3-3=0. 

La multiplicación en su sentido aritmético es una suma iterada de lo mismo, aceleramos el conteo… pero hay algo más, geométricamente es un salto cualitativo. 3×3=9, indica dos dimensiones o la superficie del plano. Su opuesto, la división 3/3=1, expone una relación entre dos números o cociente. En este proceso, surgen las dos dimensiones, pero también una razón o proporción.

Por último, la potencia indica una multiplicación de una cosa “por sí misma”: número de veces que un número se multiplica por sí mismo. Así, 3³= 27 indica aritméticamente, la máxima aceleración de crecimiento, pero se introduce una diferencia con el paso anterior, el resultado cambia si se altera el orden de los elementos (no es igual 2³ que 3²) pero hay algo más, geométricamente es un salto cualitativo, indica la adicción de una dimensión más al plano, el volumen de un objeto sólido: pasamos del plano al espacio. Si utilizamos el siguiente exponente para el 3, 3⁴=81, el salto de nuevo, es otro nivel exponencial…

Su dual, la raíz, ya lo hemos comentado. Raíz como extracción, como “capacidad de penetrar la materia y obtener los elementos necesarios para el crecimiento de la planta”. “Tanto la raíz vegetal como la raíz matemática son causativas […]”. (14) Causativas en el sentido de que actúa como causa o agente para que se realice un acto.

Así expuesto, la potencia puede considerarse como causa o agente de expandir, irradiar lo que “algo” es o contiene… y en el propio lenguaje se expresa esa distinción sutil entre “multiplicar” (repetir) y “potenciar” (algo que está dentro y sale). 

Así, podríamos decir que la raíz transforma “extrayendo o separando” y la potencia transforma “impulsando o desarrollando”.

9.- Recapitulemos…

Comenzamos diciendo que estamos acostumbrados a considerar los poliedros regulares como objetos y el proceso ha demostrado que esos «objetos» (formados por caras, aristas y vértices) se desarrollan a partir de cinco «átomos» piramidales y un centro. De éstos, tres de ellos están formados por 3 rayos o vectores cada uno con diferente ángulo central de comienzo, elementos esenciales para construir el tetraedro, el octaedro y el icosaedro. El siguiente, está formado por 4 rayos o vectores  y es  la base de construcción del hexaedro o cubo y por último, el quinto estaría formado por 5 rayos o vectores y construye el dodecaedro.

Esto es, para formar: el tetraedro hacen falta 4 “átomos; para el octaedro, 8; para el cubo o hexaedro, 6;  para el icosaedro, 20 y  para el dodecaedro, 12.

O dicho de otra manera, para formar cada poliedro, hace falta: 1) un centro, 2) un ángulo especifico definido por dos rayos y 3) el correspondiente nº de puntos o vértices de cada poliedro sobre la superficie esférica que lo circunscribe. Así, el tetraedro, necesita 4 vectores, el octaedro, 8, el hexaedro, 6, el icosaedro 20 y el dodecaedro 12.

Lo curioso en este proceso es que a excepción del octaedro cuyo ángulo de comienzo es 90º exactos,(16) el resto de los poliedros presentan unas cantidades aproximadas con  decimales… Los 109,47º del tetraedro, los 70,53º del hexaedro, los 63,43º del icosaedro y los 41,81º del dodecaedro, todos ellos, corresponden a una relación de medidas lineales correspondientes a las escuadras con las que empezamos su desarrollo en el plano. Así,  hemos utilizado la  escuadra 1/2Ѵ2/3, para tetraedro y hexaedro, la 1/1/√2 para el octaedro, la 1/2/√5 para el icosaedro y ésta misma junto a la 2/√5/3 para la construcción del dodecaedro.

Si tomamos como ejemplo el ángulo del dodecaedro (ver nota 5), éste corresponde a la relación de dos medidas lineales 2/3=0.666…cuyo arco seno es 41.81º. Esto es, una relación de medidas lineales se ha convertido en una medida angular en grados. Volveremos sobre ello.

Recordemos también, lo que  Fuller  decía  al comienzo: “no existe el plano,  sino una malla de eventos energéticos interrelacionados por vectores diminutos que se modelan según longitud y ángulo”. Esto es: un segmento con medida, dirección y sentido; en nuestro caso, el vector o rayo está formado por el segmento o  radio de la esfera, la dirección o ángulo especifico de cada poliedro  y el sentido del centro hacia afuera.

En este proceso, hemos visto las relaciones de medida entre las aristas (de valor unidad) de estos poliedros y el diámetro de la esfera que los circunscriben que han puesto de manifiesto los números geométricos Ѵ2, Ѵ3 y Ѵ5. Y  hemos  podido reconocer dos niveles de funcionamiento: los tres primeros poliedros (tetraedro, octaedro y hexaedro) hablan de un proceso de creación (generador y formador) hacia afuera, correspondiente a los valores Ѵ2 y Ѵ3 y  los dos últimos, donde está presente la Ѵ5 y la relación  Ф, como un proceso de “conexión entre dos mundos» o creación “hacia afuera y hacia dentro”.

En el primer nivel, octaedro y hexaedro, poliedros duales (17), distinguen  la relación entre la arista (ambas de valor unidad) y el diámetro de la esfera que los circunscriben y así, en el octaedro es  Ѵ2 (hipotenusa de la escuadra 1/1/Ѵ2) y en el hexaedro es Ѵ3 (hipotenusa de la escuadra 1/Ѵ2/Ѵ3) y esta relación en el tetraedro, dual de sí mismo, es Ѵ3/Ѵ2. Valores geométricos que (podríamos decir) definen la estructura básica del espacio.

En el segundo nivel, el icosaedro y el dodecaedro de nuevo poliedros duales (17), esta misma relación entre la arista (de valor unidad) y el diámetro de la esfera que los circunscribe, se manifiesta como H= Ѵ(Ф² +1) en el icosaedro como  un valor concreto y preciso que corresponde a la hipotenusa de la escuadra de la Forma 1/Ф/H.  En el dodecaedro, se distinguen dos factores Ѵ3 y Ф (en este caso, se distinguen dos alturas: la de la escuadra 1/Ѵ3/2 y la de la escuadra de la Forma ya mencionada) y  podríamos apuntar  que al poder regenerador atribuido a Ф,  se le añade el poder formador espacial de Ѵ3.(18). Valores geométricos que (podríamos decir) definen una estructura armónica de organización más sutil…

La existencia de estos números geométricos ha permitido profundizar algo más en el propio concepto de raiz y por ello, examinar con más detenimiento esas operaciones básicas y a la vez, duales de la aritmética: suma-resta, multiplicación-división y potencia-raíz y en paralelo, observar, desde la geometría (ciencia de las relaciones y las formas), esa capacidad de creación, formación y regeneración de los tres números geométricos para la formación de los cinco poliedros platónicos, como añade Lawlor: “bases de todas las formas volumétricas». (14)

Retomemos los valores angulares ya mencionados. Decíamos que geométricamente,  una relación de medidas lineales, un cociente, se convierte en una medida angular en el momento que definimos unos ejes cartesianos de referencia… Esa relación de medidas lineales o segmentos corresponden a una figura geométrica, una escuadra o triángulo rectángulo.

Así, podríamos decir que para la construcción de un poliedro hacen falta tres elementos: 1) un centro, 2) un ángulo  central de comienzo y 3) y un vector que lo materializa compuesto de nuevo, tres elementos: la medida, la dirección y el sentido de crecimiento.

El centro o principio de unidad es esencial. Todos los vértices de los poliedros regulares están contenidos en la esfera que los circunscribe. El centro es centro del “ámbito o espacio” de cada poliedro.

El ángulo central  o el orden de generación, indica los radios o rayos de expansión del poliedro y surge,  en ese  instante, una propiedad esencial, la simetría, para que el orden y la forma  permanezcan invariantes bajo ciertas rotaciones alrededor de ese centro., así distribuyen los  vértices del poliedro sobre la superficie de la esfera y que ese orden, mediante la simetría, se conserve en el poliedro.

Y el tercer elemento, el vector materializa la forma con la medida, la dirección y el sentido de crecimiento puntuando la superficie de la esfera con los vértices de cada poliedro.

Y en este espacio referenciado, las escuadras son las herramientas de entendimiento, entretenimiento  y construcción de los poliedros.

 En este proceso, casi casi… volvemos a Platón y a su diálogo Timeo.. 

Mª Luisa Lopez Sardá 

Primavera/Verano 2026

NOTAS

1.- «Synergetics: Explorations in the Geometry of Thinking». R. Buckminster Fuller in collaboration with E.J. Applewhite. First Published by Macmillan Publishing Co. Inc. 1975-1979. En los apartados 240.000 y siguientes, Fuller va enumerando los siguientes conceptos que exponemos a continuación en el texto.

2.- Este entrecomillado está tomado de los artículos “Un rombicuboctaedro en la iglesia del Monasterio de Poblet”, de la misma autora en esta misma web. En este artículo desarrollaremos ese aspecto de los poliedros regulares visto desde su origen o centro de la esfera que los circunscribe.

3.- sen α=2√2/3; arc.sen^-1(2√2)/3=70.527º; 180º- 70.527=109.47º

4.- seno α=2/√5=0.894; arc-sen^-1 0.894=63,43º. 

5.- seno α=CH/CO=2/3=0.666; arc-sen^-10.666=41,81º

6.- P.Talemarianus en su libro “La Arquitectura Natural” habla de las escuadras constitutivas de la Materia  originadas en la escuadra egipciaca 3/4/5 y comenta que en la tradición china a estas escuadras les correspondían 4 escuadras aproximadas como al éter (quintaesencia) le correspondían los cuatro elementos. Las escuadras 5/5/7 cuya duplicación da el cuadrado, la 4/7/8 cuya duplicación da el triángulo equilátero, la 4/8/9 cuya duplicación da el doble cuadrado y la 8/9/12. En la tradición occidental corresponden a la escuadra 1/1/√2 o escuadra de 90º/45º/45º, el cartabón 1/√3/2 de ángulos 90º/60º/30º, la escuadra 1/2/√5 y por último la escuadra 2/√5/3, ésta última utilizada para hallar el ángulo central del dodecaedro.

Las escuadras de la Forma, P. Talemarianus las deriva de la Sección Aurea o Φ. Así, define tres escuadras: 1/(1/√Φ)/√Φ, 1/√Φ/Φ y 1/Φ/H donde los dos últimas corresponden a la semi-sección y la semi-cara de la pirámide de Keops. 

7.- Hacer notar que  los números que definen las escuadras de la semicara de los cinco poliedros por un lado son √2 y de √3 y los dos últimos, utilizan los valores H y Φ relativos a las escuadras de la Forma que acabamos de mencionar.

8.- Fuller utiliza la palabra frecuencia como definición de medida. La longitud la mide en términos de frecuencia para subrayar el hecho de que la “distancia de aquí a allá”, implica tiempo y puede especificarse en términos de números, nº de pasos, nº de latidos etc. “A Fuller Explanation” The Synergetic Geometry of R. Buckinster Fuller”. Amy C. Edmonson. Design Science Collection Serie. Edit Arthur  L. Loeb Harvard University.

9.- o lo que es lo mismo 3Φ/√3.

10.- hipotenusa de la escuadra, ya mencionada en la nota 6, 1/Φ/H. Apuntar que la relación entre los diámetros de ambas esferas que los circunscriben es la relación Φ√3/H que “resuena” con la relación entre los lados del pentágono y del hexágono regulares Lp/Lh= H/Φ. Estas relaciones entre los lados de ambos polígonos está explicado con más detalle en el artículo “La escuadra y sus afines”, de la misma autora y publicado en esta misma web.

11.- Amy E. Edmonson: “A Fuller Explanation”: The Synergetics Geometry of R. Buckminster Fuller,” Series Editor Arthur L.Loeb. Department of Visual and Enviromental Studies. Harvard University. Birkhäuser Boston 1987.

12.- Si examinamos los valores algebraicos referidos a la arista del poliedro como valor unidad, encontramos que el radio de la esfera para el tetraedro se suele definir como √6/4, para el cubo √3/2 y para el octaedro √2/2. Para el dodecaedro y el icosaedro unas fórmulas más difíciles de seguir aunque el razonamiento sea correcto. Decir que el  radio de la esfera para el dodecaedro es √3(1+√5)/2 y para el icosaedro (√10+2√5)/4 es describir un constructo mental que no se relaciona con nada y difícil de integrar en el conocimiento y experimentación de ambos poliedros donde sólo queda claro que aparece √5.

13.- Recordemos que ambas disciplinas junto a la Música y la Astronomía forman el famoso Quadrivium de las artes liberales de la antigüedad y la Edad Mdia.

14.- Robert Lawlor. Sacred Geometry: Philosophy and Practice. Thames and Hudson.1982.

15.-Los dibujos que se presentan  sobre √2, √3 y √5 han sido realizados siguiendo los dibujos del libro  de R.Lawlor ya mencionado.

16.- El cuboctedro es el otro poliedro, arquimediano, cuyo ángulo central corresponde a 60º exactos. Fuller lo llama equilibrio vectorial al que dedica mucha investigación en el libro mencionado Synergetics. En el artículo antes mencionado «Un rombicuboctaedro en el ábside la la iglesia de Poblet», de la misma autora, en la nota 2 se desarrolla con más detalle las características de este poliedro.

17.- No olvidemos que el cubo y el octaedro, el icosaedro y el dodecaedro son poliedros duales al igual que el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico, sólo el tetraedro es dual de sí mismo. Por ejemplo,

-para el octaedro 6V+8C=12A+2

-para el cubo       8V+6C=12A+2

Esto es, el octaedro y el cubo intercambian el número de caras y de vértices manteniendo el mismo nº de aristas.

-para el icosaedro       12V+20C=30A+2

-para el dodecaedro   20V+12C=30A+2

Poliedros con una dualidad: 1) numérica por la coincidencia precisa de vértices con caras y 2) geométrica puesto que si, por ejemplo, unimos los puntos medios de las caras de un cubo obtenemos un octaedro y viceversa. 

18.- Si recordamos los valores decimales  de estas relaciones antes citados, veremos que mientras los valores de los cuatro primeros poliedros se mantenían entre el 1 y el 2, el dodecaedro, de nuevo, se distinguía acercándose al 3.