¿CUANTOS TRIANGULOS DIFERENTES* PUEDEN INSCRIBIRSE EN UN POLIGONO REGULAR?
* [diferentes entendiendo triángulos con diferentes lados o ángulos, no en diferente posición.]
En principio parece una pregunta elemental: en un polígono de n lados regulares ¿cuantos triángulos diferentes pueden inscribirse?
Y puede empezar a responderse dibujando los primeros polígonos regulares.
-El hexágono contiene 3 triángulos:
Equilátero (60º/60º/60º), cartabón (30º/60º/90º) e isósceles (36º/36º/108º). Figura 1
-El octógono contiene 5 triángulos:
3 isósceles (22,5º/22,5º/135º) (45º/45º/90º) y (67.5º/67.5º/45º), cartabón (22.5º/67.5º/90º) y escaleno (22.5º/45º/112.5º). Figura 2
-El eneágono contiene 7 triángulos:
4 isósceles (20º/20º/140º) (40º/40º/100) (60º/60º/60º) (80º/80º/20º) y 3 escalenos (20º/40º/120º) (20º/60º/100º) (40º/60º/80º). Figura 3
-El decágono contiene 8 triángulos:
4 isósceles (18º/18/º/144º) (36º/36º/108º) (54º/54º/72º) (72º/72º/36º), 2 cartabones (18º/72º/90º) (36º/54º/90º) y 2 escalenos (18º/36º/126º) (18º/54º/108º). Figura 4
-El dodecágono contiene 12 triángulos:
5 isósceles (15º/15º/150º) (30º/30º/120º) (45º/45º/90º) (60º/60º/60º) (75º/75º/30º), 2 cartabones (15º/75º/90º) (30º/60º/90º) y 5 escalenos (15º/30º/135º) (15º/45º/120º) (15º/60º/105º) (30º/45º/105º) (45º/60º/75º). Figura 5
El número de triángulos inscritos va variando hasta llegar al dodecágono. Aquí se produce una coincidencia entre el número de triángulos inscritos y el número de lados del polígono. La relación entre triángulos y lados es, por tanto, 1/1.
Si volvemos al hexágono, la relación entre triángulos y lados del polígono es 3/6=1/2…
Podemos establecer una primera aproximación para enumerar los triángulos diferentes inscritos en cada polígono.
Para hallar los isósceles, aplicamos: [(nº de lados/2)- 1]… y cumple. Por ejemplo en el dodecágono, el nº de isósceles inscritos es (12/2) -1=5. En el decágono, (10/2)-1=4. En el octógono, (8/2)-1= 3, etc…
Para hallar los cartabones (diferenciándoles de los escalenos), podemos aplicar: [(nº de lados/4)-1]… y también cumple. Por ejemplo, en el dodecágono, (12/4)-1=2. En el octógono, (8/4)-1=1, etc*[En el caso de fracción decimal, funciona por “quantos” o nº enteros. Por ejemplo, en el decágono (10/4)-1=2.5∼ 2 cartabones]
Los escalenos tienen una mayor dificultad…
Podemos seguir dibujando un poco más y comprobar el nº de triángulos en otros polígonos. Por ejemplo:
-El polígono de 15 lados contiene 19 triángulos:
7 isósceles (12º/12º/156º) (24º/24º/132º) (36º/36º/108º) (48º/48º/84º) (60º/60º/60º) (72º/72º/36º) (84º/84º/12º) y 12 escalenos (12º/24º/144º) (12º/36º/132º) (12º/48º/120º) (12º/60º/108º) (12º/72º/96º) (24º/36º/120º) (24º/48º/108º) (24º/60º/96º) (24º/72º/84º) (36º/48º/96º) (36º/60º/84º) (48º/60º/72º)
-El polígono de 16 lados contiene 21 triángulos
7 isósceles (11.25º/11.25º/157.5º) (22.5º/22.5º/135º) (33.75º/33.75º/112.5º) (45º/45º/90º) (56.25º/56.25º/67.5º) (67.5º/67.5º/45º) (78.75º/78.75º/22.5º), 3 cartabones (11.25º/78.75º/90º) (22.5º/67.5º/90º) (33.75º/56.25º/90º) y 11 escalenos (11.25º/22.5º/146.25º) (11.25º/33.75º/135º) (11.25º/45º/123.75º) (11.25º/56.25º/112.5º) (11.25º/67.5º/101.25º) (22.5º/33.75º/123.75º) (22.5º/45º/112.5º) (22.5º/56.25º/101.25º) (33.75º/45º/101.25º) (33.75º/67.5º/78.75º) (45º/56.25º/78.75º). Figura 6
-El polígono de 18 lados contiene 27 triángulos:
8 isósceles (10º/10º/160º) (20º/20º/140º) (30º/30º/120º) (40º/40º/100º) (50º/50º/80º) (60º/60º/60º) (70º/70º/40º) (80º/80º/20º), 4 cartabones (10º/80º/90º) (20º/70º/90º) (30º/60º/90º) (40º/50º/90º) y 15 escalenos (10º/20º/150º) (10º/30º/140º) (10º/40º/130º) (10º/50º/120º) (10º/60º/110º) (10º/70º/100º) (20º/30º/130º) (20º/40º/120º) (20º/50º/110º) (20º/60º/100º) (30º/40º/110º) (30º/50º/100º) (30º/70º/80º) (40º/60º/80º) (50º/60º/70º).
-El polígono de 20 lados contiene 33 triángulos:
9 isósceles (9º/9º/162º) (18º/18º/144º) (27º/27º/126º) (36º/36º/108º) (45º/45º/90º) (54º/54º/72º) (63º/63º/54º) (72º/72º/36º) (81º/81º/18º), 4 cartabones (9º/81º/90º) (18º/72º/90º) (27º/63º/90º) (36º/54º/90º) y 20 escalenos (9º/18º/153º) (9º/27º/144º) (9º/36º/135º) (9º/45º/126º) (9º/54º/117º) (9º/63º/108º) (9º/72º/99º) (18º/27º/135º) (18º/36º/126º) (18º/45º/117º) (18º/54º/108º) (18º/63º/99º) (27º/36º/117º) (27º/45º/108º) (27º/54º/99º) (27º/72º/81º) (36º/45º/99º) (36º/63º/81º) (45º/54º/81º) (45º/63º/72º). Figura 7
Por último, dibujamos los triángulos inscritos en el polígono de 24 lados. Este contiene 48 triángulos:
11 isósceles (7.5º/7.5º/165º) (15º/15º/150º) (22.5º/22.5º/135º) (30º/30º/120º) (37.5º/37.5º/105º) (45º/45º/90º) (52.5º/52.5º/75º) (60º/60º/60º) (67.5º/67.5º/45º) (75º/75º/30º) (82.5º/82.5º/15º), 5 cartabones (7.5º/82.5º/90º) (15º/75º/90º) (22.5º/67.5º/90º) (30º/60º/90º) (37.5º/52.5º/90º) y 32 escalenos (7.5º/15º/157.5º) (7.5º/22.5º/150º) (7.5º/30º/142.5º) (7.5º/37.5º/135º) (7.5º/45º/127.5º) (7.5º/52.5º/120º) (7.5º/60º/112.5º) (7.5º/67.5º/105º) (7.5º/75º/97.5º) (15º/22.5º/142.5º) (15º/30º/135º) (15º/37.5º/127.5º) (15º/45º/120º) (15º/52.5º/112.5º) (15º/60º/105º) (15º/67.5º/97.5º) (22.5º/30º/127.5º) (22.5º/37.5º/120º) ( 22.5º/45º/112.5º) (22.5º/52.5º/105º) (22.5º/60º/97.5º) (22.5º/75º/82.5º) (30º/37.5º/112.5º) (30º/45º/105º) (30º/52.5º/97.5º) (30º/67.5º/81.5º) (37.5º/45º/97.5º) (37.5º/60º/82.5º) (37.5º/67.5º/75º) (45º/60º/75º) (45º/52.5º/82.5º) (52.5º/60º/67.5º). Figura 8
En este polígono, la relación entre el nº de triángulos inscritos y el nº de lados es 48/24=2/1.
Es decir, la relación en el hexágono es ½, en el dodecágono es 1/1 y en el polígono de 24 lados es 2/1… Parece existir una octava (progresión geométrica en base 2) entre el nº de lados de los polígonos y sus triángulos inscritos.
Podemos establecer una octava de 12 a 24 en función del nº de lados del polígono y donde los polígonos de 15, 16 18 y 20 lados ocuparían su posición en la octava:
– En el polígono de 15 lados la relación 19/15 corresponde a una “ aproximación en “cuantos” (números enteros sin decimales), al valor de su posición como nota Mi (15Lx(5/4)= 18.75∼19) en la octava de 12 a 24. Este nº 19 es el nº de triángulos más próximo para que se cumpla la relación 5/4.
– En el polígono de 16 lados, la relación 21/16 corresponde a una aproximación en “cuantos” al valor de su posición como nota Fa (16Lx(4/3)= 21.333…∼21) en la octava de 12 a 24. De nuevo, 21 es el nº de triángulos más adecuado para que se cumpla la relación 4/3.
– En el polígono de 18 lados, la relación 27/18 es exacta y corresponde al valor de su posición como nota Sol (18Lx(3/2)= 27) en la octava.
– En el polígono de 20 lados, la fracción 33/20 es una aproximación en “cuantos” al valor en su posición como nota La (20Lx(5/3)= 33.333…∼33) en la octava. Nuevamente, 33 es el nº más próximo; tanto el nº 32 como el 34 se alejan del valor de la relación 5/3.
Estudiemos la octava entre el hexágono y el dodecágono donde hay una duplicación del nº de lados. En este caso, una octava de (1/2) a 1 y la relación de números enteros que define cada etapa o nota queda definida por*:*[La nota Re (1/2)x(9/8), Mi (1/2)x(5/4), Fa (1/2)x(4/3), Sol (1/2)x(3/2), La (1/2)x(5/3) y la nota SI (1/2)x(15/8).]
El octógono (8/6= 4/3), el eneagono (9/6=3/2) y el decágono (10/6=5/3) ocuparían su posición en la octava como notas Fa, Sol y La respectivamente.
– En el octógono, la relación 5T/8L corresponde a la mayor aproximación en “cuantos” al valor 2/3 [(1/2)x(4/3)x8L= 5.333…∼5T] para la posición Fa.
En el eneágono, el valor 7 es la mayor aproximación en “cuantos” al valor 3/4 para la posición Sol. [(1/2)x(3/2)x9L= 6.75∼7T]
En el decágono, el valor 8 es la mayor aproximación al valor 5/6 para la posición La. [(1/2)x(5/3)x10= 8.33…∼8T].
De nuevo, entre estos 5 polígonos se ha establecido un crecimiento por relaciones de números enteros que corresponden a la notación musical de la octava diatónica y el nº de triángulos inscritos en cada polígono parece adecuarse al mismo criterio.
Podríamos apuntar entonces que el nº de triángulos inscritos en cada polígono regular es función de la “posición” del polígono en una octava de polígonos que comenzaría con el dodecágono…
Estudiemos la octava de 24 a 48 (2 a 4). Esta octava es la primera donde todas las notas o etapas están representadas por números enteros y cada nota o etapa queda definida por*:*[La nota Re (2x(9/8)), Mi (2x(5/4)), Fa (2x(4/3)), Sol (2x(3/2)), La (2×5/3)), Si (2x(15/8))]
y podemos comprobar que:
– 61Triángulos [7x(9/8)x2= 60.75∼ 61 triángulos] es la mejor aproximación en nº enteros para el valor 9/4 de la posición Re del polígono de 27 lados. Este número está compuesto de 13 isósceles y 48 escalenos.
– 75 Triángulos [30x(5/4)x2= 75 triángulos] es el nº más cercano para que el polígono de 30 lados ocupe la posición Mi de valor 5/2. Este nº está compuesto de 14 isósceles, 7 cartabones y 54 escalenos.
– 85 Triángulos [32x(4/3)x2= 85.333…∼85 triángulos]es el nº más cercano para que el polígono de 32 lados ocupe la posición Fa de valor 8/3. Este nº está compuesto de 15 isósceles, 7 cartabones y 63 escalenos.
– 108 Triángulos [36x(3/2)x2= 108 triángulos], compuesto por 17 isósceles, 8 cartabones y 83 escalenos. De nuevo, es el nº más aproximado para que el polígono de 36 lados ocupe la posición Sol y su valor 3. Y así sucede con el nº de triángulos, 133 [40x(5/3)x2= 133.333..∼ 133 triángulos] compuesto de 19 isósceles, 9 cartabones y 105 escalenos y 169 [45x(15/8)x2= 168.75∼ 169 triángulos] compuesto de 22 isósceles y 147 escalenos, correspondientes a los polígonos de 40 y 45 lados ocupando las posiciones La de valor 10/3 y Si de valor 15/4 de esta octava.
– Por último, 192 triángulos [48x(2/1)x2= 192 triángulos] compuesto por 23 isósceles, 11 cartabones y 158 escalenos, es el nº exacto de triángulos diferentes que pueden inscribirse en un polígono de 48 lados.
Tomemos el polígono de 26 lados. No corresponde a una “nota o relación de nº enteros” de la gama diatónica pero la relación 26/24 es el primer nodo, 13/12, de la vibración de una cuerda en la frecuencia duodécima. El nº de triángulos inscritos en este polígono corresponde a 56 formado por 12 isósceles, 5 cartabones y 39 escalenos. Y este valor corresponde a [(26Lx2x(13/12))= 56.333.. ∼] 56 triángulos diferentes que pueden inscribirse en un polígono de 26 lados…
Algo así como que…para saber el nº de triángulos diferentes inscritos en cualquier polígono regular, tendríamos que conocer su posición con respecto al valor del nº 12 una progresión geométrica en base 2: 12, 24, 48, 96, 192… Por ejemplo el nº de diferentes triángulos inscritos en un polígono de 60 (octava de 48 a 96) lados seria de 300 triángulos¡¡¡ [60Lx4x(5/4)]. Y se diferenciarían como 29 isósceles, 14 cartabones y 256 escalenos.
Estaba estudiando las geometrías de las membranas asociadas a los polígonos regulares y la sorpresa fue grande. Tal vez lo sorprendente por inesperado, sea que el número de triángulos quede definido en función de la POSICION del polígono en una octava ascendente cuyo origen es el nº 12.
Ahora bien, si tomamos una cuerda de longitud unidad y la hacemos vibrar en frecuencias diferentes y unimos los extremos formando una circunferencia, los polígonos son el resultado de la unión mediante líneas rectas de los diferentes nodos (puntos de vibración cero) de la vibración de la cuerda. Son una representación o reflejo en dos dimensiones de las diferentes vibraciones de una cuerda. Figura 9
El giro de los diferentes triángulos inscritos en cada polígono origina geometrías cada vez más complejas en función de los “saltos de nodos” o lados de los triángulos y que pueden observarse en los anteriores dibujos de los polígonos. Desde unas geometrías casi periféricas de los primeros escalenos que dejan vacío el centro del polígono hasta dibujos más complejos que se desarrollan por todo el interior …Y según van creciendo el nº de lados, la complejidad geométrica se pone de manifiesto.
Cada frecuencia en sí, define mediante los nodos, una gama de sonidos (algunos de notas reconocibles), un mundo “sonoro” llenos de sonidos “audibles” conformados bien como un solo sonido o bien como un conjunto de triples o cuádruples…, algunos armónicos, otros inarmónicos, que van aumentando su número según crece la frecuencia.
Cada polígono está asociado a una frecuencia y ésta puede reconocerse por la “medida del lado” del correspondiente polígono.
Cada triángulo inscrito es un acorde conformado por las posiciones de sus tres vértices. El movimiento de este triángulo girando dextrógiramente sobre los vértices del polígono define la gama ascendente de “triples sonidos”… De ahí la importancia de conocer el nº de triángulos inscritos. Esto es, el nº de triángulos indica el nº máximo de triples sonidos o acordes diferentes contenidos en cada frecuencia. Si volvemos a mirar con más detenimiento las geometrías de los dibujos de los polígonos y sus triángulos inscritos, podríamos penetrar algo más en su conocimiento puesto que la complejidad de los éstos, queda ligada a sus acordes. Esto es, cada dibujo tiene su “acorde” o sonido origen… algo así como su ADN o identidad inicial.
Existe una relación biunívoca entre los polígonos y las frecuencias(=sonidos). ¿Geometría ⇔ Música?. Partimos de los polígonos y llegamos a los sonidos… y al desarrollar el estudio de las frecuencias (sonidos y acordes) encontramos nuevas geometrias [Ver Anotaciones a una Geometría de la Energia en esta misma web], definitorias de «patrones geométricos y energéticos” que se extienden y ordenan el espacio. ¿Música ⇔Geometría? Sí, pero en otra etapa de entendimiento…
Seguiremos …
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