Vamos a finalizar esta historia que comenzó hace muchos años pero tomó cuerpo con la publicación del libro “Anoll: primer arquitecto de Poblet” editado en 2021. Después de tres años dedicados a temas afines, en septiembre del 2024 planteamos una nueva publicación en forma de artículo: “Un rombicuboctaedro en el monasterio de Poblet” publicado en esta misma web acordesarquitectonicos. com.
Ya sabíamos entonces que se quedaban dos apuntes pendientes: una estrella tetraédrica y un signo de cantero. Ahora en Febrero del 2025, publicamos en la misma web, una Primera Addenda referida a la existencia de 12 pequeñas tallas situadas en el plinto de la primera columna a la izquierda, con la que se inicia el movimiento semicircular del ábside de la iglesia.
La continuación es esta Segunda Addenda dedicada al pequeño signo de cantero grabado justo en el mismo plinto, bajo el rombicuboctaedro. Es como si todo lo investigado hablara el mismo lenguaje, como si el proceso recorrido a lo largo de este tiempo, pudiera sintetizarse en esa primera columna con la que se inicia el movimiento semicircular del ábside. F1
En la F5 del “Apartado 2.3.6.- Un poliedro” del libro antes mencionado, ya aparece ese pequeño grabado. En el artículo dedicado al rombicuboctaedro, vuelve a aparecer en la F2 en la primera página. Ha estado todo el rato presente. Pero sólo al estudiar la geometría de los poliedros: cubo, octaedro, cuboctaedro, dodecaedro rómbico y rombicuboctaedro, hemos llegado a comprender su significado.
Jose Luis Bozal, que amablemente nos ha cedido las fotos, coautor del libro ya citado al inicio y experto en signos de cantero, lo describe, en la pag. 69, como “cruz de líneas dobles” y sitúa la F2 en el exterior, F2, y las F3 y F4 en varios puntos del interior del ábside, además del signo existente en el plinto de la primera columna del ábside; todos ellos de formas similares.
También nos ha facilitado otro signo de cantero parecido pero con las alas muy alargadas, grabado en la nave que corresponde a otra fase de construcción de la iglesia. F5
Las cuatro primeras imágenes podemos definirlas como un croquis geométrico, simétrico, formado por un cuadrado central con dos triángulos rectángulos por lado, levantados en continuidad con los lados del cuadrado.
Este sencillo dibujo plantea en principio, cuatro posibles soluciones en función de las características del triángulo rectángulo utilizado.
Comencemos recordando que cuando los primeros geómetras pusieron en relación las dos figuras representativas del cielo y la tierra: el círculo y el cuadrado, abrieron el camino a los primeros números irracionales. Al inscribir éste último en el primero, se encontraron que si consideraban el lado del cuadrado como valor unidad, el diámetro del círculo o la hipotenusa del triángulo resultaba ser un número inconmensurable √2 y configuraba el primer triángulo 1/1/√2 o escuadra.
El primer movimiento implícito en la figura anterior, fue abatir la hipotenusa √2 sobre el eje horizontal y se formó el triángulo 1/√2/√3.
El siguiente movimiento fue de nuevo, el abatimiento de la hipotenusa √3 y se formó el triángulo 1/√3/2 o cartabón y con el tercer movimiento, un nuevo abatimiento de la hipotenusa de valor 2, se formó el tercer triángulo 1/2/√5. F6
Esto es, partiendo de un círculo circunscrito a un cuadrado y con los sucesivos abatimientos de la hipotenusa creciendo, llegamos al doble cuadrado y en el proceso, hemos hallado cuatro triángulos rectángulos con las hipotenusas definidas por los números inconmensurables √2, √3 y √5. Examinaremos a través de ellos, las posibles soluciones al signo de cantero.
La primera propuesta consiste en trazar cuatro círculos de radio la mitad del lado del cuadrado (1/2) con centros en los vértices del cuadrado; la prolongación de los lados del cuadrado hasta cortar los círculos y la unión de estos ocho nuevos puntos con los centros de los lados del cuadrado, despliega una geometría similar a alguna de las imágenes presentadas utilizando la escuadra 1/1/√2 y ángulos 45º/45º/90º. F7
La segunda propuesta consiste en trazar desde los cuatro vértices, los cuatro círculos de radio la mitad de la diagonal del cuadrado (Lc= √2/2). De nuevo, la prolongación de los lados del cuadrado hasta cortar los nuevos círculos y la unión de los ocho puntos hallados con los puntos medios del lado del cuadrado, reproduce una geometría similar a alguna de la imágenes presentadas utilizando el triángulo 1/ √2/√3. F8
En la tercera propuesta, el cruce de los cuatro círculos desde los vértices del cuadrado, produce cuatro puntos en los ejes ortogonales y la unión de éstos con los vértices del cuadrado da origen a cuatro triángulos equiláteros de lados de valor la unidad (aquí ya está presente la vesica piscis). Este equilátero está formado por dos triángulos rectángulos cuyos catetos corresponden a los valores (1/2), (√3/2) e hipotenusa 1, es decir, el cartabón 1/√3/2 de ángulos 30º/60º/90º. Si estos triángulos los situamos en continuidad con los lados, tenemos una tercera aproximación al croquis mencionado. F9
En la última propuesta, se trazan los mismos cuatro círculos desde los cuatro vértices, la prolongación de los cuatro lados hasta cortarlos y la unión de estos ocho puntos con los centros de los lados, reproduce una geometría similar al croquis mencionado utilizando el triángulo 1/2/√5 (recordar también que este triángulo rectángulo es origen de la construcción de la Divina Proporción o nº Ф). F10
En todos los casos y como hemos ido repitiendo, los movimientos son hacia fuera, de expansión y crecimiento pero … consideremos su opuesto y complementario, la pulsación o polaridad, concepto inherente a este Universo: a cada movimiento hacia fuera le corresponde un movimiento hacia dentro.
Si abatimos en cada propuesta los triángulos hacia dentro, sucede que en la primera propuesta, (por ser un triángulo isósceles), se reproduce un cuadrado girado 45º donde la relación entre los lados del cuadrado inicial y el nuevo, tienen la relación Lc/L=√2. El círculo tangente a los lados del cuadrado, permite inscribir un octógono, representación en planta del rombicuboctaedro…. Y justo el signo del que hablamos está grabado debajo de nuestro poliedro. F11
En los tres siguientes casos, F12, F13 y F14, por ser triángulos rectángulos escalenos, el abatimiento de los ocho triángulos hacia dentro, fija ocho puntos de cruce de las hipotenusas de los triángulos abatidos. Podemos comprobar que se definen dos cuadrados girados de igual lado donde la relación entre el Lc del cuadrado inicial y L de los dos nuevos cuadrados, varía en función del valor de la hipotenusa de cada triángulo. F12, F13 y F14
Tomando el mismo criterio de la primera propuesta, podemos trazar una circunferencia cuyo radio sea el lado del nuevo cuadrado; este círculo tangentes a ambos cuadrados permite inscribir un octógono; de nuevo una representación en planta de un rombicuboctaedro; misma forma característica en los cuatro casos pero de diferente tamaño.
Así, la escuadra 1/1/√2 genera una relación especifica entre los lados de los cuadrados basada en √2; la escuadra 1/√2/√3 en √3; la escuadra 1/√3/2 en 2 y la escuadra 1/2/√5, en √5: relaciones de lados establecidas por la hipotenusa de cada triángulo. En todos ellos, el “bamboleo” o giro del rombicuboctaedro es el mismo además de simétrico, correspondiendo a 22,5º respecto al eje vertical, o 67,5º respecto al horizontal, giro angular fácil de identificar por las tangencias del círculo interior involucrando al isósceles de 45º/67,5º/67,5º. (1)
Esta triple imagen de dos cuadrados entrecruzados y girados con respecto a los ejes ortogonales, trae el recuerdo de los «gráficos operativos e intermediarios» de Petrus Talemarianus en su libro «La Arquitectura Natural» (Alexandre Rouhier. Libraire aux Editions Vega.1988) F15
Los trazos que unen los diferentes vértices de los cuadrados plantean una figura dual de dos cuadrados girados y entrecruzados definidos por cuadrados «materia» (cuyos lados son segmentos de los trazos que unen los vértices de los cuadrados girados 45º) y cuadrados «forma» ( cuyos lados son segmentos de los trazos que definen líneas en proporción phi). Esto le permite definir una serie de segmentos donde las relaciones entre sus diferentes medidas da origen a lo que denomina «Las ocho relaciones constructivas o ARSENIC.M», la piedra filosofal de la arquitectura natural. (2)
En nuestro caso, el cuadrado simbolizado por el Sol está implícito en la primera propuesta puesto que la unión de los ocho vértices de los triángulos abatidos hacia fuera define el primer cuadrado del gráfico operativo de Talemarianus (3) planteando el mismo escenario del juego.
Este desarrollo geométrico de la escuadra permite apreciar que, al superponer ambas representaciones del volumen del rombicuboctaedro, aparece ese entrecruzamiento central de las dos caras del poliedro hablando el mismo lenguaje de cuadrados entrecruzados y girados que expone el gráfico operativo de Talemarianus. F16
No sólo eso. Recordemos la F9 de la Addenda Primera representando la estrella tetraédrica con el dibujo de K. Critchlow. Nos centrábamos en las relaciones de números enteros de los segmentos que reproducían notaciones musicales de las gamas diatónica y cromática; en la F17, los triángulos VAC y VAN son simétricos definiendo un equilátero y por ello, ambos triángulos definen el triángulo rectángulo 1//√3/2 al igual que el ABO; junto a la estrella situamos la tercera propuesta del desarrollo basada en este cartabón… Aparecen los mismos elementos en la estrella y en el signo de cantero.
Parafraseamos lo que ya decíamos finalizando el artículo del rombicuboctaedro: «Tal vez esta pareja dual, el polígono y el signo, represente esa continua «inter-transformabilidad» e «inter-complementariedad» (en términos de R.B. Fuller); esa dualidad o doble aspecto continuamente cambiante de nuestra realidad».
Intercomplementariedad entre la figura geométrica (hacia fuera) del signo de cantero y su dual, la figura del octógono (hacia dentro). O con otras palabras, el octógono como polígono es intrínseco en su polaridad a la geometría del signo de cantero: el mismo patrón geométrico en su aspecto formal originado por distintos triángulos que manifiestan diferentes tamaños; tamaños originados por diferentes armonías o relaciones de números; consonancias en el comienzo de la traza del monasterio de Poblet permanentemente presentes y que aparecen hasta en un pequeño signo de cantero…
Maria Luisa Lopez Sardá
Febrero 2025
NOTAS:
- 1. En esta misma web, el artículo «Anotaciones a otra geometrías de la proporción y la armonía. Parte 2», veíamos que uno de los triángulos básicos contenidos en el octógono o en el armónico octavo, era el isósceles de 45º/67,5º/67,5º. Una de las posiciones en los vértices del polígono definidos por los puntos nombrados como 9/8, 3/2,15/8 correspondían con la notación musical del acorde de Sol Mayor: (Re=9/8), Sol(=3/2) y (Si =15/8); un triángulo «muy «musical» invisible pero presente en la representación del rombicuboctaedro.
- 2. Un mayor desarrollo puede encontrarse en el artículo «Recensión del libro La Arquitectura Natural de Petrus Talemarianus» publicado en esta misma web.
- 3. En el gráfico operativo, Talemarianus plantea los diferentes cuadrados como representaciones simbólicas de los planetas y las doce escuadras resultantes como los signos del Zodiaco.
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