La Escuadra 3/4/5 y sus Afines

Cada cierto tiempo, volvemos sin pretenderlo a priori al estudio de los triángulos. Tema reiterativo que hemos desarrollado tanto en los libros y artículos (4) como en la propia web: acordesarquitectónicos.com. Cada vez hemos apuntado alguna característica o cualidad que en ese momento nos parecía que había que destacar y con el paso del tiempo, la mirada ha ido cambiando y el triángulo ha ido convirtiéndose en algo así, como el “átomo” de la Geometría, como la “vocal” o sonido indestructible, en el Lenguaje o el “acorde” en la Música. Formas o Sonidos elementales que tienen mucho juego…

“Nuestras mujeres son líneas rectas.

Nuestros soldados y clases más bajas de trabajadores son triángulos con dos lados iguales de unos 27cm y una base o tercer lado tan corto (no supera a veces los 1,25 cm) que sus vértices forman un ángulo muy agudo y formidable. Estos triángulos se diferencian de los otros porque se les llama isósceles.

Nuestra clase media está formada por triángulos equiláteros o lados iguales.

Nuestros profesionales y caballeros son cuadrados y figuras de cinco lados o pentágonos. Inmediatamente por encima de ellos, viene la nobleza de la que hay varios grados que se inician con las figuras de seis lados o hexágonos. A partir de ahí, va aumentando el número de lados hasta que reciben el honorable título de poligonales. Finalmente, cuando el número de lados resulta tan numeroso que la figura no puede distinguirse de un círculo, éste se incluye en el orden circular o sacerdotal…”

Esta descripción de los ciudadanos de “Planilandia: una novela de muchas dimensiones”(1) libro escrito en 1884 por el clérigo Edwin A. Abbot, plantea una sociedad de diferentes clases hasta “castas” podríamos decir, de figuras geométricas, cada una ocupando un eslabón en una sociedad muy jerarquizada. Esta idea de una “sociedad de figuras geométricas” resulta válida por las relaciones tan específicas de afinidad y/o lejanía y a veces, tan “kármicas” que se plantean entre ellas.

A esta idea tan rígida y clasista, es obligado mencionar por oposición y complemento, a Platón, su diálogo “Timeo o de La Naturaleza”(2) y resaltar algunas de sus consideraciones. Casi desde el comienzo, plantea la importancia de los cuerpos elementales fuego, tierra, agua y aire en la creación del Universo y pasada ya la mitad del discurso, vuelve sobre ello utilizando las palabras “en un lenguaje que no es usual” .

“Empezaré por deciros que para todo el mundo es evidente que el fuego, la tierra, el agua y el aire son cuerpos. Todo lo que tiene la esencia del cuerpo tiene también la profundidad. Todo lo que tiene la profundidad contiene en sí necesariamente la naturaleza de la superficie. Una base cuya superficie es perfectamente plana se compone de triángulos. Todos los triángulos toman su origen de dos triángulos que tiene cada uno un ángulo recto y los otros dos agudos. Uno de estos triángulos tiene en cada lado una parte igual de un ángulo recto formado por lados iguales; el otro, dos partes desiguales de un ángulo recto formado por lados desiguales. Este es el origen que atribuimos al fuego y a los otros tres cuerpos obedeciendo a la necesidad, tal como nos la muestra la verosimilitud”.

Estamos hablando de la escuadra 1/1/√2, el cartabón 1/√3/2 y el triángulo equilátero como triángulos constitutivos de la formación de los cuerpos elementales. Y acontinuación sigue diciendo: “En cuanto a los principios superiores que son los de los triángulos, sólo Dios los conoce y un reducido número de hombres a quien ama”.Y en nota a pié de pagina,  el traductor aclara: “Los triángulos isósceles y escalenos son los principios geométricos de los cuatro cuerpos elementales; pero por encima de ellos están los principios numéricos, los números, conocidos solamente  por Dios y los pitagóricos”

Por un lado, resaltar la importancia de los triángulos, y de estos triángulos en particular sobre los que luego volveremos, pero también incidir en la idea platónica de que por encima de la geometría están los números. Esta idea trae a la memoria la conocida frase del rey Salomón “Tú lo ordenaste todo según el Número, el Peso y la Medida” (3).Triada más perteneciente al ámbito científico así como la triada platónica, Verdad, Bondad y Belleza pertenecería más al ámbito filosófico.

Comenzamos con el Triángulo Egipciaco o Escuadra Pitagórica.

Como ya hemos mencionado en otras muchas ocasiones (4), Petrus Talemarianus en su libro “La Arquitectura Natural (5) habla de los escuadras de la Materia y las escuadras de la Forma.

Llama escuadras de la Materia a aquellas originadas en el triángulo egipciaco 3/4/5 y comenta que en la tradición china a esta escuadra perfecta le correspondían cuatro escuadras aproximadas como al éter (la quintaesencia) le correspondían los cuatro elementos: aire, fuego, agua y tierra. F1

F1.- Escuadras de la «materia»

Cada una era conocida por tres números enteros: la escuadra 5/5/7 cuya duplicación sobre el 7 da lugar al cuadrado, la 4/7/8 cuya duplicación sobre el 7 da lugar al triángulo equilátero, la 4/8/9 cuya duplicación sobre el 9 da lugar al doble cuadrado y por último, la escuadra 8/9/12. Su aproximación en números enteros derivaba del juego de la unidad que resultaba al aplicar la regla de Pitágoras: la suma de los cuadrados de los catetos difiere en una unidad, más menos, al cuadrado de cada hipotenusa.

5²=3²+4²=25

   7²=5²+5²=49+1

    8²=4²+7²= 64+1

   9²=4²+8²= 81-1

    12²=8²+9²=144+1

En la tradición occidental estas mismas escuadras son conocidas como los triángulos 1/1/√2 de ángulos 90º/45º/45º o escuadra tradicional; el triángulo 1/√3/2 de ángulos 90º/60º/30º o cartabón; el triángulo 1/2/√5 que corresponde, como catetos, a los lados un doble cuadrado y la hipotenusa como su diagonal, y por último el triángulo 2/√5/3 . F2

F2.- Expansión de la escuadra 3/4/5 a través del primer movimiento de la escuadra

En nuestra cultura, nos faltaría la escuadra 1/√2/√3 como paso intermedio entre la escuadra y el cartabón en el desarrollo geométrico y tal vez, la escuadra 8/9/12 resultaría más extraña o desconocida aunque esta idea está por ver…

Señalemos que esta “forma oriental de ver” los triángulos contiene datos sugerentes:

1.- si la escuadra del éter o triángulo pitagórico tiene sus catetos definidos por 2² y 3¹, la escuadra que podríamos asignar al elemento tierra tiene sus catetos definidos por 2³ y 3²…lo que significa un crecimiento geométrico por potencias (6) y en consecuencia, una forma de entender los elementos constitutivos del Universo.

2.- todos los triángulos mencionados derivan geométricamente de esta primera escuadra y están contenidos en el rectángulo básico del posible elemento tierra. De nuevo, un concepto oriental de entendimiento del mundo donde el elemento tierra contiene todo lo anterior y es la “Gloriosa Manifestación del Uno” según la tradición Védica. F3



F3.- Desarrollo de la escuadra 3/4/5

Podemos comprobar en la F4, cómo el rectángulo 9/8 que contiene la escuadra del elemento Tierra puede subdividirse en diferentes rectángulos. El primero corresponde al cuadrado de lado 5 o relación entre los lados 1/1, uno segundo definido por la relación entre sus lados 5/4, uno tercero por la relación 4/3, un cuarto por la relación 5/3 y un quinto por la relación 8/5. También están contenidos los rectángulos de lados 3/2 como Quinta y el rectángulo 8/4=2/1 como Octava.



F4.- Relaciones contenidas en el rectángulo 9/8

De nuevo, recordemos lo que ya hemos comentado en muchas otras ocasiones:

– La gama diatónica definida por Ptolomeo establece un Unísono o Do inicial o relación 1/1, una Segunda definida por 9/8, una Tercera por 5/4, una Cuarta 4/3 y una Sexta Mayor definida por 5/3.

– También recordemos que los antiguos definían tres consonancias perfectas: Unísono 1/1, Octava 2/1 y Quinta 3/2; una semi-perfecta, la Cuarta o relación 4/3; cuatro imperfectas, las Terceras mayor 5/4 y menor 6/5, las Sextas mayor 5/3 y menor 8/5 y por último las disonancias, la Segunda 9/8 y la Séptima 15/8.

Y a excepción de la Séptima, todas están contenidas en el rectángulo 9/8… Aunque de nuevo, convendría recordar lo que apuntaba A. Schönberg (7), sobre las llamadas disonancias: sólo significan que esos sonidos están más alejados del unísono o sonido principal.

– Corroborar que la escala de Zarlino basada en la progresión geométrica 6/8/9/12 está implícita en la escuadra del elemento Tierra (8), según puede observarse en la quinta escuadra de la F1.

– Y por último, recordar lo que ya hemos comentado en el Apéndice 4: los Triángulos del libro Acordes Arquitectónicos (9): «Si tomamos una cuerda de 12 espacios y 13 nudos para formar el triángulo egipciaco y nombramos los extremos como 1/1 y 2/1, cada nodo o nudo queda definido por una relación de dos números enteros.» F5

F5.- La unión de los vértices 1/1, 5/4 y 19/12 de la escuadra 3/4/5 conforma un triángulo formado por dos rectángulos ya conocidos.

Si unimos los extremos de la cuerda formando una circunferencia y partiendo de 1/1, unimos con líneas rectas los nudos 1/1, 5/4 y 19/12, correspondiente a 3, 4 y 5 saltos, se forma un triángulo escaleno de ángulos 45º/60º/75º. Este nuevo escaleno está formado por la escuadra 1/1/√2 o 5/5/7 y el cartabón 1/√3/2 o 4/7/8.

Posibilidades de mutación o transformación al pasar de una cuerda de 12 espacios y 13 nudos, a la superficie de un triángulo rectángulo 3/4/5 formado por la unión de los puntos primero, tercero, séptimo y duodécimo.

O pasar la mencionada cuerda a formar la longitud de una circunferencia donde la unión de los mismos nudos da origen a un escaleno que, recordemos, está formado por dos de los tres triángulos que Platón considera constitutivos de los cuerpos elementales. Esto es, convertir el perímetro del triángulo en la longitud de la circunferencia.

Sigamos…

El cruce de las semidiagonales de un cuadrado configura este triángulo 3/4/5 y el lado del cuadrado que lo inscribe toma el valor de 2√5 . En el cuadrado se configura un isósceles formado por la escuadra 3/4/5 y un triángulo ya conocido: la escuadra 4/8/9 o triángulo 1/2/√5. F6



F6.- Isósceles de lados 5 compuesto de dos triángulos rectángulos

Pero esta sencilla construcción geométrica tiene más juego. La base del isósceles es 2 veces √5, añadiendo la unidad en continuación de la base, resulta una medida compuesta de √5+(1+√5 )= 2Φ como indica la F7. Primer movimiento, con centro en O´ y radio 2Φ, trazamos la circunferencia que corta en A; prolongamos hasta cortar al eje vertical central del cuadrado en C. Segundo movimiento, con centro en O, abatimos el valor 2 sobre la base del isósceles y colocamos esta medida desde O´´ definiendo O´´C=2Φ como cateto mayor y un cateto menor O´´D=2 que forma una nueva escuadra. F7


F7.-Desarrollo de la escuadra 3/4/5

Este desarrollo define la escuadra 1/Φ/H que Petrus Talemarianus califica como escuadra de la Forma junto a 1/√Φ/Φ . Ambas constitutivas de la sección y del lado de la pirámide de Keops.

Así, la escuadra de la Materia 3/4/5, introduce los irracionales √2, √3 y √5 (irracionales en número pero racionales en potencia según Platón) y las escuadras de la Forma quedan definidas por el nº Φ y podríamos decir, introducen las escuadras aproximadas basadas en las series de la Divina Proporción.(10)

En definitiva, lo sorprendente es que esta diferenciación entre Materia y Forma es una manera de “deslindar” lo que en su origen está unido. La sencillez del proceso estriba en que partiendo de la escuadra 3/4/5 hemos llegado a las escuadras basadas en el nº Φ.

Y siguiendo el camino ya iniciado, tomemos un cuadrado de lado 2 e inscribamos la escuadra 3/4/5. Posicionemos las anteriores escuadras, 1/2/√5 y 1/Φ /H con sus catetos mayores apoyados en el eje vertical del cuadrado según puede verse en la F8. Se ha formado un compás cuyo espesor de brazos está definido por las hipotenusas de ambos triángulos rectángulos ( uno correspondiente a la Materia y el otro a la Forma, según la descripción de P. Talemarianus).



F8.- Compás en el interior del cuadrado

El  triángulo 3/4/5 ya ha empezado a velarse. El cruce de estas prolongaciones con el lado del cuadrado da dos nuevas medidas que definen los valores Φ  de lado del cuadrado de valor 2.(ver F9). Trasladamos la medida de la altura, Φ , de la escuadra al lado vertical del cuadrado, punto E. Con centro en O´, vértice inferior izquierdo, y radio O´E, trazamos el arco de circunferencia hasta cortar al eje vertical central del cuadrado en K.

Con centro en el vértice inferior derecho, O, y radio OK, trazamos la circunferencia que inscribe un hexágono de lado Le=r= Φ. F9



F9.- Del cuadrado al hexágono

En la F10, vemos que esta circunferencia corta a la linea de trazos que pasa por C, en el punto F. Si unimos el vértice superior derecho del hexágono con este nuevo punto, esta nueva línea tiene la misma medida que el segmento OE=H de la anterior figura, y obtenemos la medida del lado del pentágono, Lp, inscrito en la misma circunferencia.



F10.- Del hexágono al pentágono inscritos en el mismo círculo

La relación entre el lado del pentágono regular y el lado del hexágono regular inscritos en el mismo círculo es H/Φ. F1

Este dibujo corresponde a la descripción que hace P. Talemarianus en su libro ya mencionado sobre las relaciones H/Φ o relaciones entre el Quinario y el Senario que ya apuntamos en el libro sobre el monasterio cisterciense de Veruela en la provincia de Zaragoza al estudiar la traza y medidas del claustro antiguo.

“Esta relación H/Φ= Lado del pentágono/Lado del hexágono es la razón geométrica cuya aplicación anima la materia copiando así, esquemáticamente, a la Naturaleza introduciendo vida “pentágono” en el centro de la organización hexágono”

Desde la geometría, hemos estudiado el triángulo 3/4/5, sus relaciones con otros triángulos y el salto a los polígonos regulares de 5 y 6 lados.

Podemos hacer un acercamiento desde la aritmética, siguiendo a Vitrubio. En el Capítulo I del Libro III de ”Los diez libros de Arquitectura” (10) establece de manera muy sencilla el origen de la numeración y las relaciones existente entre ellos.

«…Los antiguos estimaron perfecto al número 10 porque lo tomaron de los dedos, de los dedos nace luego el palmo y del palmo, el pie. Platón estimó perfecto al 10 porque por medio de cosas individuales que los griegos llaman «monadas» se formó la decena…»

Más adelante habla del número 6 que «…los matemáticos, al contrario, quisieron que el número perfecto fuera el 6 porque los divisores de este número, a su modo de razonar, sumados, igualan al 6…»

Sabemos que como concepto, el sistema de numeración es la unidad sumándose a sí misma. Esto establece la fluidez del sistema y las relaciones entre cada número, su anterior y posterior. F12

Pero también podemos establecer el 3 como punto de comienzo (puesto que Platón (12) establece la triada o 3 como comienzo básico de la proporción) y establecer sus duplicaciones 6,12, etc; en definitiva definir saltos de octava. Por ejemplo tomemos la serie 3/6. Entre 3/3 y 6/3, esto implica que la relación del 4 y del 5 en ese contexto, haya cambiado. El nº 4 y el nº 5 corresponden a ese nº 3 al que se ha añadido la unidad más un tercio y la unidad más dos tercios; su duplicación da una nueva octava. Comienza la serie 6/12, de 6/6 a 12/6, e y los números siguientes 7, 8, 9, etc, corresponden de nuevo, a la suma de la unidad más una fracción sencilla (1/6) hasta llegar a su octava que establece un nuevo campo o contexto. F11



F11.- Relaciones de los números

Parecería que con el inicio en la escuadra 3/4/5 hemos recorrido un paisaje «geométrico» que va cambiando sus figuras o elementos… Seguiremos.

Maria Luisa López Sardá
Primavera 2018 – Revisión Invierno 2020-2021

Notas:

1.- Edwin A. Abbot. Planilandia: una novela de muchas dimensiones. Jose J Olañeta Editor.1999 Palma de Mallorca

2.- Platón. Dialogo Timeo. Editorial Porrúa SA. México 1979

3.- Libro de la Sabiduria. Salomon. Sagrada Biblia. Biblioteca de autores cristianos. Madrid 1967

4.-ML López Sardá. Armonía en la traza de Santa Maria de Veruela. Editorial Electa España.1996

ML.López Sardá. Acordes Arquitectónicos:otra geometría de la proporción y la armonía

en la arquitectura. Editorial Fisuras de la Arquitectura Contemporánea. Madrid. 2012

ML.López Sardá. Artículos en la web: www.acordesarquitectonicos.com

5.- P.Talemarianus. De LÄrchitecture Naturelle. Aux Editions Vega. 171.Boulevard Saint-Germain.175P aris

6.- Si consideramos las tres operaciones básicas de la aritmética, suma y (su opuesto) resta, multiplicación y (su opuesto) división y potencia y (su opuesto) raíces, veremos que cada una supone una diferente «velocidad» de crecimiento; mientras que la suma y resta es el crecimiento y decrecimiento más lento, las potencias y raíces representan el crecimiento y decrecimiento más rápido. Así Platón, al plantear su conocida «Lambda» en el diálogo Timeo, utiliza las potencias como «velocidad» más perfecta para la creación del Universo

7.- A. Schonberg. Tratado de la Armonía. Real Musical de Editores. Madrid.1974

8.- Escalas: Zarlino. Enciclopedia Larousse Tomo VII. Editorial Planeta.1980

9.- ver nota 4 los libros mencionados

10.- Tema desarrollado en el libro «Anoll y Agüero» de Jose Luis Bozal y ML Lopez Sarda. Ed. Pirineo 2019

11.- Vitrubio: Los Diez Libros de Arquitectura. Editorial Iberia. SA. Barcelona 1955.

12.- «…Es imposible combinar dos cosas sin la existencia de una tercera. Es preciso que exista un vínculo que las una. No hay mejor vínculo el que hace de sí mismo y de las cosas que une un todo único e idéntico…» . ver nota 2

-Todos los dibujos están realizados por la autora ML López Sardá

5 comentarios

  1. José Martín González Quevedo escribió el 14 de febrero de 2021

    Precioso artículo, al cuál me gustaría añadir sin licencia y disculpandome por ello, que esa relación H/Φ también se encuentra en un pentágono y sus diagonales. Ejem, en un triángulo de 54°,54°,72° donde la hipotenusa sería (Lp) y los dos catetos iguales serían cada uno (Le).
    Quiere decir que en este mismo triángulo un (Le) pasaría a ser el lado de un pentagono y (Lp) a su inicio saldría desde uno de los vértices del pentágono y a su mitad cortaría con la mitad de una de las diagonales del pentágono. (Lp) a su final contaría con otra diagonal del pentágono ,partiendo esta en la razón áurea. 1+Φ
    Saludos.

    1. María Luisa López Sarda escribió el 16 de febrero de 2021

      Hola José, no sé si te he respondido…
      Lo primero agradecerte el hecho de que lo hayas leído, lo segundo que te haya interesado y por último, que además hayas respondido. Gracias por esta triple acción.
      Lo que dices es cierto. También te digo que la geometría es un lenguaje y «traducirlo en palabras» es un esfuerzo que tenemos que hacer los dos, tú para describirlo y yo para dibujar tus palabras… me mandas un dibujo y entendido de una vez.
      Una curiosidad… ¿cómo has llegado a esta web?
      Tal vez, te interese el artículo «A propósito de una pregunta…».. planteo una propuesta que me parece nueva o nunca la he escuchado… la relación entre los polígonos y el nº de triángulos inscritos..
      Ya me dirás… De nuevo, gracias por tu comentario. Saludos

  2. José Martín González Quevedo escribió el 16 de febrero de 2021

    https://drive.google.com/file/d/1FdhvEZ_JNVCBmyu4CSGsSqlm2CTU5fOo/view?usp=drivesdk
    Hola María, agradecerte el interés a mi comentario, aquí pongo el enlace del dibujo (que espero pueda verse) donde explico como la relación H/Φ= √5/H
    Llegué a esta web buscando información sobre la relación del triángulo 3,4,5 con la razón áurea (se solapan) y encontré como dije este precioso artículo (el adjetivo fue lo primero que me vino a la cabeza mientras lo leía) con «A propósito de una pregunta» fue decir 《esto es una maravilla》y lo relacioné con la razón áurea (como suelo hacer) te diré algo si creo encontrar algun dato curioso, esta vez si, con tu permiso.
    Muchas gracias, saludos.

    1. María Luisa López Sarda escribió el 17 de febrero de 2021

      Hola Jose, de nuevo tienes razón…
      Me hace gracia que los temas los refieras a la razón áurea. En la gama musical, este nº ocuparía el lugar de la nota sol sostenido. Si consideras la octava como progresión geométrica del 1 al 2, su lugar está entre 3/2 o nota sol y 5/3 o nota La. Realmente, cada nota es una etapa en el crecimiento, en este caso, de la frecuencia, y según la tradición antigua, cada nota denota una cualidad o una etapa de un proceso con un comienzo y un final (comienza en 1/1 Unísono y termina en 2/1 u octava, la unidad como distancia en el tiempo que toma la medida que quieras)…
      Desde la ambivalencia del Re,(o duda) o la potencia y dominio de la nota Sol… para mí, la razón áurea, ese lugar del Sol pero «sostenido»(inconmensurable como nº pero conmensurable en potencia) tiene mucho que ver con la «corrección» de rumbo.
      Si consideras una octava de vida del hombre de unos 100 años, ves que tiene que ver mucho con esa etapa de la vida del hombre (+- 60/65 años)…
      Decía Platón, que la geometría es el estudio de lo que siempre es y nunca cambia… y al final estudiando geometría, te acercas casi sin querer a la filosofía…
      No sé por qué pero he ido por las ramas…Saludos

  3. José Martín González Quevedo escribió el 1 de junio de 2021

    https://drive.google.com/file/d/1scd8ZukddBmAYSBst0FIrdEhLzcwVzhS/view?usp=drivesdk
    Hola María Luisa, aqui dejo otra fotografía donde aparece H y H/Φ en un cuadrado de lado √5…aparecen en dos escuadras, distintas a las escuadras del pentágono donde también aparecen H y H/Φ.
    Saludos, muchas gracias.

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