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Espirales de los Números Geométricos: el nº Φ [2]

Vamos a comenzar por las espirales más conocidas: las correspondientes al nº Φ. Como ya hemos comentado en el artículo anterior: ”Espirales de los números geométricos [1]”, la proporción lineal de crecimiento ha sido 49/48 y la relación angular, en este caso es de 137,5º. Es decir, la proporción aurea cierra su crecimiento angular en 55 vueltas y 144 puntos han sido definidos en el recorrido. Así, si empezamos desde el eje vertical con una longitud 1 que define el punto 0, el punto 1 queda definido por un giro de 137,5º y un crecimiento lineal de 1+49/48.

Fig. 1

Vamos a utilizar la serie de crecimiento numérico de  Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…. para definirlas. Es decir, podemos dibujar las espirales,1/3, 1/5, 1/8, 1/13, 1/21, 1/34, 1/55… etc.

Fig.2: Espirales 1/3 y 1/5

 

Fig.3: Espirales 1/8 y 1/13

Fig.4: Espirales 1/21 y 1/34

Fig.5: Espiral 1/55

En estos siete primeros dibujos, podemos comprobar la alternancia de giro. Así, las espirales 1/3, 1/8, 1/21 y 1/55 son dextrógiras y las espirales 1/5, 1/13 y 1/34 son levógiras y el número que fija el ritmo define el nº de espirales existentes en cada dibujo. Por ejemplo, la relación 1/5 contiene cinco espirales, la relación 1/13 contiene 13 espirales y así sucesivamente.

Sobre el mismo fondo de puntos, también podemos establecer las espirales de potencias Φ siguiendo  la serie de Lucas para su crecimiento numérico: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47,… Comenzamos con la espiral 1/11 puesto que más adelante estudiaremos las espirales 1/7.

Fig.6: Espirales 1/11 y 1/18

Fig.7: Espirales 1/29 1/47

De nuevo, podemos comprobar las alternancias de giro; las espirales 1/11 y 1/29 son dextrógiras mientras que las espirales 1/18 y 1/47 son levógiras y de nuevo, el nº que fija el ritmo define el número de espirales existentes, es decir, la relación de crecimiento 1/11 contiene once espirales y así sucesivamente.

Así mismo, podemos comprobar las simetrías existentes entre ambas series (Fibonacci y Lucas). Por ejemplo,  la espiral 1/8 es simétrica con respecto a la espiral 1/18, así como la espiral 1/13 se corresponde con la espiral 1/29 y la espiral 1/21 se corresponde con la espiral 1/47.

Fig.8: Espirales 1/8 y 1/18

 

Fig.9: Espirales 1/13 y 1/29

Fig.10: Espirales 1/21 y 1/47

Hasta aquí todo lo que hemos expuesto puede formar parte del conocimiento existente sobre el número Φ. En el artículo anterior, introdujimos un nuevo dato al considerar el crecimiento angular de la octava.  Si  esta organización angular de la octava la superponemos a ese fondo de puntos definidos por el crecimiento angular de Φ,  nos encontramos que:

– en la vuelta 1 queda definido el  Punto 0 = DO = 0º

– en la vuelta 7 se define el Punto 18 = SI =315º

– en la vuelta 19, el  Punto 48 = FA =120º

– en la vuelta 28, el Punto 72 = SOL = 180º

– en la vuelta 37, el Punto 96 = LA =240º

– en la vuelta 42, el Punto 108 = MI = 90º

– en la vuelta 49, el  Punto 126 = RE = 45º

– y por último en la vuelta 55, queda definido el Punto 144 = DO = 360º.

 

Fig.11: Las notas de la escala diatónica sobre el fondo de puntos.

Podemos examinar en la figura 11 que una serie de puntos, que podemos nombrar como notas, comienzan a sobresalir sobre ese fondo “estrellado” , y si los observamos, parecen indicar un cierto orden dentro de ese fondo necesariamente ordenado por la expansión del número  Φ . Estos puntos significados tienen una relación de “vecindad o proximidad” con los que le rodean.

Fig.12

Así por ejemplo, el punto 144, último de la serie y “borde” del sistema tiene como vecinos más próximos a los puntos 136, 131 y 139 y luego, en la siguiente aproximación, a los puntos 141, 123 y 126. Es decir, las conexiones o el camino entre este punto 144 y sus próximos parecen estar indicados por las espirales que acabamos de ver. Por ejemplo, el p.136 se relaciona con el p. 144 mediante la espiral 1/8; el p. 131 se relaciona mediante la espiral 1/13 y  la conexión del p. 144 con el p. 139 es la espiral 1/5. En la siguiente “proximidad” está el p.141 que se relaciona con el p. 144, mediante la espiral 1/3, el p. 123 mediante la espiral 1/21 y por último, el p.126 se conecta con el borde o p. 144 mediante la espiral 1/18.

Si observamos  la figura 12, el punto 72 correspondiente a la nota Sol, que angularmente tiene una diferencia de 180º con el anterior p. 144, plantea otra situación al estar totalmente rodeado. Podemos utilizar este punto como referencia entre esa “vecindad” y de nuevo, las espirales nos señalan el camino tomando los “tramos” de espiral que pasan, en este caso, por esa nota pura. Y surgen “casualidades”:  esos “tramos” de espirales, definidas por, justo el punto anterior y posterior, siempre dan el mismo valor numérico: suma de esos puntos contrarios u opuestos. Es decir, la suma del valor de los puntos extremos de esas “curvaturas” cuyo centro es la nota pura, dan siempre el mismo valor numérico. Por ejemplo, en el “tramo” de espiral 1/8 que define los puntos 54, 72 y 80, la suma (54+80=144) nos da el valor 144. Igualmente, en el “tramo” de la espiral 1/13 que define los puntos 59, 72 y 85, la suma de estos extremos (59+85=144) nos da de nuevo el valor de 144, duplicación del punto que hemos tomado como referencia. Y así, todos los “tramos” de espirales que pasan por dicho punto.

Si observamos el punto 108 que define la nota Mi, vuelve a suceder mismo. Si tomamos el “tramo” de espiral 1/18 que define los puntos 126, 108 y 95, la suma de los extremos (126+95=216) da el valor de 216 que de nuevo, duplica el valor del punto tomado de referencia. Igualmente si tomamos el “tramo” de espiral 1/13 que define los puntos 121, 108 y 95, la suma de los extremos (121+95=216) da el valor de 216… y así, sucesivamente. Esto mismo sucede con cada punto significado por la nota al ser una de las características de las espirales Fibonacci….

Pero tal vez, lo que más atrae de la figura 12 es observar que cada nota ha creado como un paraguas, o umbral,  que califica o “colorea” una región del plano, o del espacio (puesto que este crecimiento que hacemos en el plano, igualmente se produce en el espacio).

Ya antes hemos mencionado (Proporción 3: la octava musical) que, por la propia estructura de la octava musical: una progresión geométrica en base 2, nos encontramos que dentro de la octava existen otras octavas: Así, por ejemplo si la octava tiene como distancia el valor la unidad (Do=1/1 y Octava=2/1), la distancia Sol-Do corresponde a una octava1/2, la distancia Mi-Sol equivale a una octava 1/4 y la distancia Re-Mi equivale a una octava 1/8.

Fig. 13

Es decir, podemos establecer de nuevo, las notas puras correspondientes a estas cuatro tipos de octavas.

Si empezamos en la octava Do (p.144)-Re (p.126), que angularmente corresponde a 45º, encontramos la existencia de tres puntos definidos por las notas Fa, Sol y La. (Fig.14)

En la octava Re (p.126)-Mi (p.108), de igual valor angular que la anterior, también existen esas tres notas puras. En la octava Mi (p.108)-Sol (p.72) ya existe un escalón más: la nota Mi, además de las tres anteriores Fa, Sol, La.

En la octava Do (p.0)-Sol (p.72) tenemos las notas puras Re, Mi, Fa, Sol, La y Si y, por último, en octava Sol (p.72)-Do (p.144) también existen las  seis notas intermedias.  Es decir, encontramos que no sólo siete puntos se han significado sino que otros más han comenzado a sobresalir planteando otro nivel de “coloración” o “calificación” del espacio.

Fig.14

Utilizando ese fondo definido por los puntos de crecimiento del nº Φ,  podemos definir las espirales que pueden corresponder  a la escala ascendente musical.

Fig.15

Si partimos del punto 144 como Do, la espiral 1/18 une las notas Do, Re, Mi, pero también más adelante pasa por la nota Sol y luego por la nota Si para llegar al Do u octava.

La espiral 1/8, que es la misma que la anterior pero de sentido contrario, une las notas Do, Fa, Sol, La y vuelve al Do. Ambas, 1/18 y 1/8 son espirales simétricas y de sentido contrario.

Por último, la espiral 1/13 une las notas La y Si…..

Esto es, parecería que en este desarrollo espiral, la escala diatónica ascendente  reproduce el juego que existe en su estructura:  un “decrecimiento” en progresión geométrica que afecta, desde el Do, a las notas Re, Mi, Sol, Si y de nuevo llega al Do en la espiral 1/18, y por otro lado, un “crecimiento” que afecta, desde el Do, a las notas Fa, Sol, La y que llega al Do en la espiral 1/8.

Ahora bien, en la escala diatónica ascendente, tenemos el salto de Mi a Fa, en la que se produce una retardación en el nº de vibraciones, es decir,  el  proceso de vibración de la octava diatónica es discontínuo con dos puntos de retardación, el intervalo Mi-Fa y el intervalo Si-Do. Y como podemos ver en la figura 15, no existe continuidad entre las notas  Mi y Fa.

Qué espiral tiene capacidad de unir ambas notas?. Si observamos la figura 16 podemos ver que la espiral 1/5 nos posibilita ese recorrido. Espiral que nace o acaba, según lo miremos, en el punto 143. Punto definido angularmente por el valor 222,5º o  valor angular del nº Φ….. es decir, la espiral 1/5 naciendo en el punto 143, rellena el intervalo Mi-Fa…….¿podríamos apuntar que una espiral que nace posteriormente en el tiempo, justo en el último valor de Φ, rellena  un  intervalo anterior Mi-Fa?……

Fig.16

En  la figura 17 se recogen todas las espirales que unen las notas en la escala ascendente diatónica.

Y así como en la escala diatónica, el armónico octavo recoge las notas Do, Re, Mi, Sol, Si y Octava, el armónico duodécimo las notas Do, Fa, Sol, La y Octava, en el crecimiento angular de valor  , la espiral  1/18 interpreta el primer armónico y la espiral 1/8 el segundo armónico citado, y da un dato más: la continuidad en la escala ascendente está en la espiral 1/5 que une ambas notas del intervalo.

Fig.17

Antes mencionamos todos los puntos de ese fondo estrellado que al introducir el concepto de octava se habían significado. Sólo una de las espirales de relación 1/3 recoge todos los puntos del proceso: las notas puras de la octava angular de 360º y las notas interiores de las distintas octavas. Resulta significativo que  siete espirales de crecimiento 1/21 recogen los puntos significados.

Fig.18

Esto es, partiendo de un origen invisible como centro de crecimiento, se significa una espiral de relación 1/3 que recoje todos los puntos que han sobresalido en este proceso al introducir el concepto de octava angular y  siete círculos concéntricos denotan las notas puras de la escala diatónica…..

Llegados a este punto y aunque estamos dando un salto muy grande de escala, viene al recuerdo el conocimiento de  la tradición antigua que habla de tres leyes en la creación: la ley del uno, la ley del tres o triada y la ley del siete u octava.

La ley del Uno define el origen y centro de la creación: en el principio es el Uno, en el desarrollo es Uno y en la disolución es Uno.

La ley de Tres o triada define el acto de la creación. Esto es, para que un hecho, suceso o acontecimiento se manifieste es necesaria la concurrencia de tres cualidades, elementos o fuerzas.

La ley de Siete u octava define la creación en el tiempo. Esto es, la ley que rige el conjunto de acontecimientos que la ley de la triada pone de manifiesto,  la ley que define su sucesión en el tiempo es llamada ley de la octava.

Se consideran diferentes niveles de conocimiento y experiencia que implican directamente a las variables  espacio y tiempo. En la ley del Uno no existe el espacio ni el tiempo. En la ley del Tres se origina el espacio y en la ley del Siete se origina el tiempo. Y dice la tradición antigua que para llegar al Uno hay que trascender el espacio y el tiempo

Fig.19

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