13.06.12
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Espirales de los Números Geométricos [1]

Vamos a ir presentando las espirales de los números geométricos, inconmensurables como números pero conmensurables en potencia, contenidos entre el 1 y el 2.

- El nº ψ o nº plástico que dio a conocer Dom Hans van der Laan o Gerard Cordonnier, se reconoce en la serie de números enteros o serie de Padovan 1,1,1,2,2,3,4,5,7,9,12,16,….o bien en la serie 1,2,3,3,5,6,8,11,14,19,…..

- El nº √2, diagonal del cuadrado de lado unidad, que puede producir la serie 1, √2, 2, 2√2…. Pero también da origen a la serie Θ=1+√2 , cuya progresión geométrica es 1, Θ , Θ2, Θ3, Θ4, Θ5 ,….

- El nº Φ al igual que el nº Θ, puede producir la serie 1, Φ, Φ2, Φ3, Φ4, Φ5, …. cuya aproximación en números enteros es la conocida serie de Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21,…. O la serie de Lucas ( o de potencias de Φ) 1,3,4,7,11,18,29,….

-El nº √3, puede producir la serie 1, √3, 3, 3√3, ….

Todos capaces de crear series numéricas de crecimiento…..

Otra forma de comprender estos inconmensurables es mediante su crecimiento angular. Este tipo de crecimiento posiciona un número definido, en cada caso, de “ejes” girando o un número concreto de vueltas que cierran el proceso al alcanzar los 360º. Es decir, el proceso es finito y el nº de vueltas define la complejidad y por qué no, la belleza intrínseca de cada número.

Si cada número geométrico lo expresamos mediante su relación angular, nos encontramos que

- para el nº ψ, su crecimiento angular sería de 117º o 13 vueltas completas nos llevarían a los 360º. (360º x 1,325=477º) (477º-360º=117º)

- para √2, su crecimiento angular sería mediante de giros de 149º o 149 vueltas nos llevarían desde los 0º del comienzo a los 360º del final. (360º x 1,4142= 509º) (509º-360º=149º)

- para el nº Φ, su crecimiento angular sería bien a través de 222,5º o de 137,5º. Dichos ángulos reflejarían su crecimiento angular o bien 55 vueltas cerrarían el proceso. (360º x 1,618= 582,48º) (548,5º-360º= 222,5º) o su complementario 137,5º puesto que 360º/222,5º/137,5º = Φ

- por último, para √3, su crecimiento angular estaría basado en 263,5º o 527 vueltas cerrarían el proceso. (360º x 1,732=623,5º) (623,5º-360º=263,5º)

Hemos aplicado a cada número geométrico, un criterio de crecimiento lineal en función del nº de vueltas que necesita para completar el proceso.

Así, para el nº ψ, la proporción lineal de crecimiento ha sido 16/15 (semitono diatónico de la escala musical). Es decir, este número cierra su crecimiento angular en 13 vueltas y 40 puntos han sido definidos en el recorrido.

Figura 1

Es decir, si empezamos desde el centro o punto invisible, el eje vertical define el comienzo angular en 0º. Si desde ese centro aplicamos una longitud de valor la unidad, queda definido el punto 0. Un giro de 117º y un crecimiento lineal de 1+16/15 definirá el punto 1. Sobre este nuevo eje, el mismo giro y el mismo crecimiento lineal definirá el punto 2 y así sucesivamente….

Para el nº √2, la proporción lineal de crecimiento ha sido 81/80 (comma pitagórica). Es decir, este número cierra su crecimiento en 149 vueltas y 360 puntos han sido definidos en el recorrido.


Figura 2

Si empezamos desde el eje vertical con una longitud de valor 1 que define el punto 0, el punto 1 queda definido por un giro de 149º y un crecimiento lineal de 1+81/80.

Para el nº Φ, la proporción lineal de crecimiento ha sido 49/48. Es decir, la proporción aurea cierra su crecimiento en 55 vueltas y 144 puntos han sido definidos en el recorrido.


Figura 3

De nuevo, si empezamos desde el eje vertical con una longitud 1 que define el punto 0, el punto 1 queda definido por un giro de 137,5º y un crecimiento lineal de 1+49/48.

Por último para el nº √3, la proporción lineal de crecimiento ha sido también 81/80. Es decir, este número cierra su crecimiento en 527 vueltas y donde 720 puntos han sido definidos en el recorrido. Para poder representarlo en una escala similar, el dibujo sólo contiene 360 de los 720 puntos que cierran angularmente los 360º de recorrido.

Figura 4

Si empezamos en el eje vertical con una longitud 1 que define el punto 0, el punto 1 queda definido por un giro de 263,5º y un crecimiento lineal de 1+81/80

Las figuras 1, 2, 3 y 4 exponen la miríada de puntos que los tres primeros números geométricos han establecido. Así, podemos comprobar cómo el nº plástico o nº ψ, genera una direccionalidad y en principio, un sentido levógiro en la organización angular de sus puntos, mientras que la organización de los puntos de √2 , Φ y √3 parecen tener una ocupación más homogénea del espacio y donde las diferencias vienen marcadas por el nº de vueltas y nº de puntos. Todos tienen en común que el punto 0 de inicio corresponde a 0º y la primera medida siempre tiene por valor la unidad.

Es curioso comprobar cómo el nº ψ, se diferencia en la manera de ocupar el espacio. Los números √2, √3 y ϕ,que como ya hemos visto en anteriores artículos, tienen sus aproximaciones en la relación de dos números enteros y por tanto, pueden representar un crecimiento o etapas en una octava, presentan una ocupación más similar donde lo que varía esencialmente es la escala o en este caso, el nº de vueltas para completar el proceso.

Vamos a introducir un nuevo dato. Así como podemos dividir una cuerda en las proporciones musicales de una octava, igualmente podemos definir y desarrollar una octava angular.

Figura 5

De esta manera las notas quedarían definidas por los siguientes ángulos:

DO = 0º
RE = 45º
MI = 90º
FA = 120º
SOL = 180º
LA = 240º
SI =315º
y por último la OCTAVA =360º.

Es decir, en principio el plano quedaría “cualificado” por esos ejes, pero no sólo el plano sino que el propio espacio quedaría “coloreado” o localizado en función del “sonido” ………

 

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